[论文解读] Generalization of Klain's Theorem to Minkowski Symmetrization of compact sets and related topics

Jacopo Ulivelli|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文将克萊因（Klain）关于施泰纳对称化（Steiner symmetrization）的收敛定理推广至闵可夫斯基对称化（Minkowski symmetrization）与紧致集在 R^n 中的纤维对称化（fiber symmetrization），证明了相对于有限个子空间的对称化序列收敛于一个对称的极限。关键贡献在于在较弱的边界条件下建立了收敛性与幂等性（idempotency）性质，将原本针对凸体的结果推广至一般紧致集。

ABSTRACT

We shall prove a convergence result relative to sequences of Minkowski symmetrals of general compact sets. In particular, we investigate the case when this process is induced by sequences of subspaces whose elements belong to a finite family, following the path marked by Klain in [13], and the generalizations in [4] and [2]. We prove an analogue result for Fiber symmetrization of a specific class of compact sets. The idempotency for symmetrization of this family of sets is investigated, leading to a simple generalization of a result from Klartag [14] regarding the approximation of a ball through a finite number of symmetrizations, and generalizing an approximation result in [9]

研究动机与目标

• 研究一般紧致集的迭代闵可夫斯基与纤维对称化收敛性，将已知于凸体的结果加以推广。
• 解决紧致集情形下与凸集相比幂等性与对称性性质可能失效的病态情况。
• 建立对称化序列收敛于凸对称极限的条件，即使从非凸紧致集出发亦成立。
• 将克萊塔格（Klartag）通过有限次对称化逼近球体的结果推广至满足边界正则性条件的紧致集类。
• 通过边界刻画紧致集的闵可夫斯基和的行为，尤其关注其与对称化幂等性的关系。

提出的方法

• 通过将对称化序列与等距变换的平均值进行比较，将紧致集对称化的分析归约为凸集情形。
• 利用闵可夫斯基对称化是恒等映射与反射映射的平均这一事实，实现从凸集到紧致集的收敛性传递。
• 引入条件 ∂conv(C) ⊆ C，以确保纤维对称化保持凸性，并可借助凸集情形的结果实现收敛性证明。
• 证明在边界连通且不包含关系成立的假设下，K + L = ∂K + ∂L，这是幂等性结果的理论基础。
• 应用定理 1.4 中的边界和等式，证明 MHK = MH∂K，并将其推广至非超平面子空间的纤维对称化。
• 利用已知的凸体收敛定理（如克萊因、比安基等人）并将其应用于 conv(C)，从而推断出满足 ∂conv(C) ⊆ C 的 C 的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般紧致集，在何种条件下，相对于有限个子空间的闵可夫斯基对称化序列会收敛？
• RQ2 凸体的对称化序列收敛性结果能否推广至包含其凸包边界的所有紧致集？
• RQ3 两个紧致集的闵可夫斯基和与其边界和之间存在何种关系，尤其当两者边界均连通时？
• RQ4 对于满足 ∂conv(C) ⊆ C 的紧致集 C，其纤维对称化序列是否收敛？极限是否等于 conv(C) 的纤维对称化？
• RQ5 在紧致集情形下，对称化过程在多大程度上保持凸性或幂等性？

主要发现

• 对于任意紧致集 C ∈ C^n，若 conv(C) = K 且 ∂conv(C) ⊆ C，则相对于有限个子空间的闵可夫斯基对称化序列收敛于与 K 相同的极限，前提是该序列对 K 收敛。
• 若紧致集 K 满足 ∂conv(K) ⊆ K，则其相对于维数 ≤ n−2 的有限个子空间的纤维对称化序列收敛于一个凸极限，且该极限等于 conv(K) 的纤维对称化。
• 当紧致集 K 具有连通边界且其任意平移不严格包含于另一集合的反射中时，其闵可夫斯基对称化仅依赖于其边界，即 MHK = MH∂K。
• 对于维数 ≤ n−2 的子空间，若紧致集 C 满足 ∂conv(C) ⊆ C，则其纤维对称化为凸集，且等于 conv(C) 的对称化，前提是子空间非超平面。
• 该结果将克萊塔格通过有限次闵可夫斯基对称化逼近球体的结果推广至满足 ∂conv(K) ⊆ K 的紧致集 K，表明经 O(log 1/ε) 次对称化后，有 (1−ε)w(K)B^n ⊂ ˜K ⊂ (1+ε)w(K)B^n。
• 当紧致集 K, L 具有连通边界且其平移之间无严格包含关系时，恒等式 K + L = ∂K + ∂L 成立，这是证明幂等性与收敛性的关键工具。