[论文解读] Generalization of Lambert $W$ function, Bessel polynomials and transcendental equations

Giorgio Mugnaini|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2014

Sports Dynamics and Biomechanics被引用 10

一句话总结

本文通过使用拉格朗日反演级数求解一个二次-指数超越方程 $(x-a)(x-b) = le^x$，将朗伯W函数进行推广，得到了以贝塞尔多项式表示的解。主要贡献在于提出了一种新的贝塞尔多项式罗德里格斯型公式，以及一个将反导数与多项式导数联系起来的新微分恒等式。

ABSTRACT

Employing the Lagrange inverting series, a solution of the transcendental equation $(x-a)(x-b)=le^{x}$, that can be considered a quadratic generalization of the equation defining Lambert $W$ function, has been found in terms of Bessel orthogonal polynomials. Once again a transcendental equation can be formally solved by means of classic orthogonal polynomials, suggesting a link between Rodrigues formulas and the terms of Lagrange series. A novel representation for Bessel polynomials has been found, by means of differential identity : $\left(x^{2}D ight)^{n}=x^{n+1}D^{n}x^{n-1}$

研究动机与目标

• 通过求解出现在量子化学中的二次-指数超越方程，推广朗伯W函数。
• 利用拉格朗日反演，为 $(x-a)(x-b) = le^x$ 推导出形式级数解。
• 通过微分算子建立贝塞尔多项式的新罗德里格斯型表示。
• 探索拉格朗日反演项与经典正交多项式公式之间的结构联系。
• 识别出涉及反导数与多项式导数的新微分恒等式。

提出的方法

• 将拉格朗日反演公式应用于方程 $x = a + l \frac{e^x}{x-b}$，将解表示为关于 $l$ 的幂级数。
• 使用莱布尼茨法则计算级数中第 $n$ 项的导数，得到双重求和形式。
• 识别出结果结构涉及贝塞尔多项式 $B_{n-1}(z)$，从而以 $B_{n-1}\left(\frac{-2}{n(a-b)}\right)$ 的紧凑形式表达级数。
• 推导出新的罗德里格斯型公式：$B_{n-1}\left(\frac{-2}{x}\right) = e^{-x}x^n \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1}\left[\frac{e^x}{x^n}\right]$，并通过数学归纳法验证。
• 利用对易关系和数学归纳法，证明恒等式 $\left(x^2 \frac{d}{dx}\right)^n = x^{n+1} \left(\frac{d}{dx}\right)^n x^{n-1}$。
• 将拉格朗日级数项的结构与广义罗德里格斯公式联系起来，暗示正交多项式与超越方程解之间存在更深层次的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 超越方程 $(x-a)(x-b) = le^x$ 的解能否用特殊正交多项式表示？
• RQ2 该方程的拉格朗日反演级数是否能给出贝塞尔多项式的新表示？
• RQ3 是否存在一个微分恒等式，将 $\left(x^2 \frac{d}{dx}\right)^n$ 与 $x^{n+1} \left(\frac{d}{dx}\right)^n x^{n-1}$ 联系起来？
• RQ4 拉格朗日级数项的结构能否系统地与经典正交多项式的罗德里格斯型公式联系起来？
• RQ5 贝塞尔多项式在混合指数-多项式方程解中出现的意义是什么？

主要发现

• 方程 $(x-a)(x-b) = le^x$ 的解为 $x = a + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!n} \left(\frac{nle^a}{a-b}\right)^n B_{n-1}\left(\frac{-2}{n(a-b)}\right)$，将根表示为贝塞尔多项式的形式。
• 推导出贝塞尔多项式的新罗德里格斯型公式：$B_{n-1}\left(\frac{-2}{x}\right) = e^{-x}x^n \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1}\left[\frac{e^x}{x^n}\right]$，对 $n \geq 1$ 成立。
• 通过使用对易关系和数学归纳法，严格证明了微分恒等式 $\left(x^2 \frac{d}{dx}\right)^n = x^{n+1} \left(\frac{d}{dx}\right)^n x^{n-1}$。
• 通过对称情况下的交换 $a$ 和 $b$，得到解：$x = b + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!n} \left(-\frac{nle^b}{a-b}\right)^n B_{n-1}\left(\frac{2}{n(a-b)}\right)$。
• 本文建立了拉格朗日反演级数项与罗德里格斯公式之间的正式联系，暗示正交多项式与超越方程解之间存在更深层次的结构关联。
• 该工作为研究由拉格朗日反演生成的超几何型级数在求解更广泛类别的超越方程中的应用开辟了新途径。