[论文解读] Generalization of nonlinear control for nonlinear discrete systems

Dmitriy Dmitrishin, Alex Stokolos+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文提出了一种非线性和半线性延迟反馈控制的新型凸组合方法，用于稳定非线性离散系统中的不稳定周期轨道。通过整合O. Morgul的半线性反馈与非线性控制，该方法减少了所需的预历史长度并加速了收敛，从而能够通过改进的迭代方案高效求解代数方程组。

ABSTRACT

The problem of stabilization of unstable periodic orbits of discrete nonlinear systems is considered in the article. A new generalization of the delayed feedback, which solves the stabilization problem, is proposed. The feedback is represented as a convex combination of nonlinear feedback and semilinear feedback introduced by O. Morgul. In this article, the O. Morgul method was transferred from the scalar case to the vector one. It is shown that the additional introduction of the semilinear feedback into the equation makes it possible to significantly reduce the length of the prehistory used in the control and to increase the rate of convergence of the perturbed solutions to periodic ones. As an application of the proposed stabilization scheme, a possible computational algorithm for finding solutions of systems of algebraic equations is given. The numerical simulation results are presented.

研究动机与目标

• 解决在非线性离散系统中稳定不稳定且事先未知的周期轨道的挑战。
• 将O. Morgul的标量半线性延迟反馈控制扩展至向量情形。
• 提高延迟反馈控制中的收敛速度并减少所需预历史长度。
• 开发一种统一的控制框架，结合非线性和半线性反馈以增强稳定性和鲁棒性。
• 将所提出的稳定化方案应用于求解代数方程组的迭代算法。

提出的方法

• 控制被表述为非线性反馈与半线性反馈（O. Morgul的方案）的凸组合，从而实现混合控制策略。
• 推导出T周期闭环系统的特征多项式，揭示其结构简单，可统一非线性与半线性情形。
• 采用几何复分析方法进行稳定性分析，利用多项式与有理映射推导出局部渐近稳定的必要与充分条件。
• 该方法应用于矩阵求逆，通过引入长度为N的预历史延迟反馈，改进迭代方案，提升收敛性。
• 数值模拟验证了该方法在3×3矩阵求逆问题中（N=7，γ=0.743）的有效性，达到ε₂₅₀ ≈ 3×10⁻⁹的精度。
• 与Morgul原始方案（N=1）的对比表明，收敛速度显著提升，新方法在250步内达到所需精度，而原方法需800步。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合非线性和半线性反馈的混合控制策略是否能比单独使用任一方法更有效地稳定非线性离散系统中的不稳定周期轨道？
• RQ2 在延迟反馈控制中引入半线性反馈如何影响所需预历史长度？
• RQ3 在组合控制框架中，特征多项式的结构是什么？其如何促进稳定性分析？
• RQ4 所提出的控制方案能否有效应用于求解代数方程组的迭代方法？
• RQ5 改进的迭代方案的收敛速率与Morgul原始方案等现有方法相比如何？

主要发现

• 所提出的非线性和半线性反馈的凸组合显著减少了延迟反馈控制中所需的预历史长度。
• 该方法实现了更快的收敛速度：在3×3矩阵求逆中，250次迭代内达到ε₂₅₀ ≈ 3×10⁻⁹，而Morgul原始方案需800次迭代。
• 闭环系统的特征多项式具有简单结构，可统一描述非线性和半线性控制情形。
• 通过复分析推导出几何稳定性准则，从而精确给出T周期局部渐近稳定的条件。
• 该方法成功应用于迭代矩阵求逆，提升了收敛性，且未增加计算复杂度。
• 数值结果证实，组合控制在收敛速度和鲁棒性方面均优于单独的非线性和半线性反馈方案。