[论文解读] Generalization of regular solutions of Einstein's gravity equations and Maxwell's equations for point-like charge

Yi-Shi Duan|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Geophysics and Gravity Measurements被引用 3

一句话总结

本文通过引入一个任意函数 $ f(r) $，将爱因斯坦引力和麦克斯韦方程在点电荷情况下的常规解进行推广，该函数确保在 $ r=0 $ 处的有限性和正则性。结果表明，粒子的总质量是有限的，并与电荷成正比，经典电子半径 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ 自然地出现，统一了引力与电磁贡献的质量，且在 $ r=0 $ 处无奇点。

ABSTRACT

In the Born, Infeld, Bopp, Podolsky and Dirac theories the electron mass is finite (or zero), but gravity effects have not been considered. Shirokov and Fisher showed that in studying of origin of elemental particle masses we can not neglect these effects. Gravity field plays an essential role in interpretation of particle mass. It has been shown that for point-like charge the general solution of gravity and electromagnetic (EM) equations that contains arbitrary function $μ(r)$, can in special case of this function, describe gravity and EM fields that do not have singularities in full range of $r$ from $0$ to $\infty$. In this paper we are trying to find more general solution.

研究动机与目标

• 将现有爱因斯坦引力与麦克斯韦方程在点电荷情况下的正则解推广至超越特定情形的更一般情况。
• 确保度规和物理量在 $ r=0 $ 处保持有限且非奇异，从而解决曲率与场奇点的问题。
• 推导出粒子总质量的有限且自洽的表达式，该表达式为引力与电磁贡献之和。
• 表明当任意函数 $ f(r) $ 在 $ r=0 $ 处满足特定边界条件时，经典电子半径自然地从理论中浮现。

提出的方法

• 通过 $ \mu = -2\ln f(r) $ 引入一个任意的、非奇异的函数 $ f(r) $，该函数参数化度规分量并确保正则性。
• 以 $ f(r) $ 及其导数 $ f'(r) $ 表示度规分量 $ g_{11}, g_{22}, g_{33}, g_{44} $，确保在 $ r=0 $ 处的有限性。
• 利用电磁场的能动张量 $ T^i_k $ 和引力能动张量赝张量，通过积分计算总质量。
• 在 $ r=0 $ 处施加边界条件：$ f(0)=0 $，$ f'(0)=\alpha \neq 0 $，$ f''(0)=\beta \neq 0 $，这些条件保证了度规分量的正则性。
• 计算质量积分 $ m = 2\int \sqrt{-g} T^4_4 \, d\tau $，得到 $ m = 4\pi \varepsilon^2 \alpha $，其中 $ \alpha $ 与经典电子半径相关。
• 证明当 $ \alpha = 1/r_0 $ 时，经典电子半径 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ 自然浮现，从而将理论与实验粒子参数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为点电荷构造出一类广义的正则解，使得爱因斯坦与麦克斯韦方程在 $ r=0 $ 处无奇点？
• RQ2 引入任意函数 $ f(r) $ 如何影响度规与物理场的有限性与正则性？
• RQ3 该系统的总质量是多少？其引力与电磁贡献如何构成？
• RQ4 当 $ f(r) $ 在 $ r=0 $ 处满足适当边界条件时，经典电子半径是否能自然地作为理论结果出现？
• RQ5 即使电荷为点状，质量是否仍可为有限且非零，而无需引入人为的质量重正化？

主要发现

• 当 $ f(r) $ 满足 $ f(0)=0 $，$ f'(0)=\alpha \neq 0 $，且 $ f''(0)=\beta \neq 0 $ 时，度规分量在 $ r=0 $ 处保持有限且非奇异，从而保证了时空几何的正则性。
• 粒子的总质量是有限的，表达式为 $ m = 4\pi \varepsilon^2 \alpha $，其中 $ \alpha $ 由 $ f(r) $ 在原点附近的性质决定。
• 当 $ \alpha = 1/r_0 $ 时，经典电子半径 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ 自然浮现，使理论框架与实验粒子参数相联系。
• 能动张量与度规分量均显式地以 $ f(r) $ 表示，表明只要 $ f(r) $ 是光滑且非奇异并满足边界条件，理论始终保持正则性。
• 质量被证明是引力与电磁场贡献之和，无需额外的质量项或重正化。
• 该解推广了爱因斯坦与谢罗科夫的先前结果，将它们扩展到更广泛的 $ f(r) $ 函数类，同时保持有限性与正则性。