[论文解读] Generalization of Schnyder woods to orientable surfaces and applications

Benjamin Lévêque|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过引入扩展组合结构的角度标记和定向，将Schnyder木从平面图推广到任意亏格的可定向曲面，特别是环面，重点研究了其在环面情形下的性质。研究建立了基于曲面同调的Schnyder定向的分配格划分，并证明了在环面情形下存在特殊的‘交叉’和‘平衡’Schnyder木，从而实现了在平坦环面上的最优编码与直线图绘制。

ABSTRACT

Schnyder woods are particularly elegant combinatorial structures with numerous applications concerning planar triangulations and more generally 3-connected planar maps. We propose a simple generalization of Schnyder woods from the plane to maps on orientable surfaces of any genus with a special emphasis on the toroidal case. We provide a natural partition of the set of Schnyder woods of a given map into distributive lattices depending on the surface homology. In the toroidal case we show the existence of particular Schnyder woods with some global properties that are useful for optimal encoding or graph drawing purpose.

研究动机与目标

• 将Schnyder木——最初定义于平面三角剖分——推广至任意亏格的可定向曲面上的地图，特别是环面。
• 通过角度标记表征Schnyder定向，并建立其与曲面上同调类的联系。
• 在环面情形下证明特殊Schnyder木（具有全局性质，如‘交叉’、‘平衡’）的存在性，以应用于图绘制与编码。
• 将平面情形下三角剖分与单胞图之间的双射关系推广至环面情形。
• 开发一种线性时间算法，用于计算环面三角剖分中的交叉Schnyder木或最小平衡Schnyder木。

提出的方法

• 通过在嵌入于可定向曲面上的地图上使用角度标记来推广Schnyder木，建立此类标记与特定边定向之间的对应关系。
• 利用同调理论，基于非同伦收缩圈的同调类，将Schnyder定向的集合划分为分配格。
• 通过分析环面情形下单色圈及其交点，引入‘交叉’Schnyder木的概念。
• 通过规范格结构定义‘平衡’Schnyder木，以确保存在唯一最小元，有利于双射构造。
• 应用Poulalhon与Schaeffer的编码方法，建立环面三角剖分与根单胞图之间的双射。
• 利用万有覆叠中的周期测地线嵌入，构造多项式大小网格中的直线平坦环面表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个本质3-连通的环面地图是否都存在Schnyder木？若存在，其条件是什么？
• RQ2 能否在环面上为Schnyder木定义全局性质（如‘交叉’或‘平衡’），这些性质与同调之间有何关系？
• RQ3 是否存在环面三角剖分与某一类单胞图之间的双射，类似于平面情形？
• RQ4 能否设计一种线性时间算法，计算环面三角剖分中的交叉Schnyder木或最小平衡Schnyder木？
• RQ5 Schnyder木在环面上的结构性质如何推广至高亏格曲面？其存在性的障碍是什么？

主要发现

• 当且仅当一个环面地图是本质3-连通时，它才存在Schnyder木，这将已知的平面情形条件推广至高亏格情形。
• 给定地图的Schnyder定向集合自然地按照同调类划分为分配格，推广了早期结果。
• 对于环面三角剖分，存在一种线性时间算法，可计算出交叉Schnyder木或最小平衡Schnyder木。
• 建立了环面三角剖分与根单胞图之间的双射，推广了平面情形下的Poulalhon–Schaeffer双射。
• 任何本质3-连通的环面地图均可通过万有覆叠中的测地线嵌入，在多项式大小网格中构造出直线平坦环面表示。
• 环面上平衡Schnyder木的存在性使得格中存在一个规范最小元，从而促进环面三角剖分的最优编码与均匀随机生成。