[论文解读] Generalization of the complex shifted Laplacian: on the class of expansion preconditioners for Helmholtz problems

Siegfried Cools, Wim Vanroose|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文提出了扩展预条件子类 EX(m)，作为亥姆霍兹问题中复位移拉普拉斯（CSL）预条件子的推广，基于亥姆霍兹算子逆的截断泰勒级数展开。虽然 EX(m) 中的高阶项可改善 Krylov 求解器的收敛性，但其应用成本的增加使得 EX(1)（等价于 CSL）成为最实用的高效选择。

ABSTRACT

In this note we propose the class of expansion preconditioners which forms a direct generalization of the CSL preconditioner. The construction of the EX(m) preconditioner is based upon a truncated Taylor series expansion of the original Helmholtz operator inverse. The EX(m) preconditioner is shown to significantly improve Krylov solver convergence rates for the Helmholtz problem for growing values of m. However, the addition of multiple terms in the expansion also increases the computational cost of applying the preconditioner. A thorough cost-benefit analysis of the addition of extra terms in the EX(m) preconditioner proves the CSL or EX(1) preconditioner to be the practically most efficient member of the EX(m) class. We suggest possible extensions to the expansion preconditioner class which are particularly interesting forma theoretical viewpoint.

研究动机与目标

• 将复位移拉普拉斯（CSL）预条件子推广为适用于亥姆霍兹问题的更广泛预条件子类别。
• 分析在预条件子展开中增加项数时，收敛性提升与计算成本之间的权衡。
• 识别 EX(m) 类中在求解亥姆霍兹问题方面实际效率最高的成员。
• 探索扩展预条件子框架的理论拓展，以供未来研究。

提出的方法

• 通过亥姆霍兹算子逆的截断泰勒级数展开构造 EX(m) 预条件子。
• 正式将预条件子定义为从逆算子展开中导出的有限项级数。
• 在 Krylov 子空间求解器中应用 EX(m) 预条件子，以加速亥姆霍兹问题的收敛。
• 对不同 m 值下的求解器收敛速度与预条件子应用成本进行成本-收益分析。
• 将 CSL 预条件子作为基线，对应于 EX(m) 家族中的 m=1 情况。
• 探索扩展预条件子类的理论拓展，以期为未来开发提供可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 增加截断泰勒级数展开中的项数，对亥姆霍兹问题中 Krylov 求解器的收敛率有何影响？
• RQ2 使用更高阶的 EX(m) 预条件子时，收敛性提升与计算成本增加之间的权衡如何？
• RQ3 是否存在一个最优的 m 值，可使 EX(m) 预条件子在实践中达到最大效率？
• RQ4 EX(m) 预条件子如何推广现有的 CSL 预条件子？
• RQ5 可对扩展预条件子框架做出哪些理论拓展，以增强其适用性？

主要发现

• EX(m) 预条件子族通过引入亥姆霍兹算子逆的泰勒级数展开中的高阶项，推广了 CSL 预条件子。
• m 值的增加可因预条件效果的改善，而使 Krylov 求解器对亥姆霍兹问题的收敛速度加快。
• 然而，预条件子的应用计算成本随 m 增加而上升，特别是由于需要计算多个项。
• 尽管收敛性得到改善，但更高阶 EX(m) 预条件子的更高成本降低了其实际效率。
• EX(1) 预条件子（等价于 CSL 方法）在实践中被发现是 EX(m) 类中最高效的成员。
• 本研究建议对扩展预条件子类进行理论拓展，可能对未来的科研具有重要价值。