[论文解读] Generalization of the Deutsch algorithm using two qudits

José L. Cereceda|ArXiv.org|Jul 29, 2004

Fractal and DNA sequence analysis参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文将德意志的量子算法推广至维度为 $ d = 2^n $ 的两 qudit 系统，实现仅通过一次查询即可确定函数是否为常数或平衡态，效率与伯恩斯坦-瓦济拉尼及德意志-ジョーズァ算法相当，但仅需一个控制 qudit 而非 $ n $ 个量子比特。该方法完全避免了纠缠，通过受控酉门 $ U_f $ 实现相位回授机制，表明单个 $ d $-level 系统在计算能力上等价于 $ n $ 个量子比特。

ABSTRACT

Deutsch's algorithm for two qubits (one control qubit plus one auxiliary qubit) is extended to two $d$-dimensional quantum systems or qudits for the case in which $d$ is equal to $2^n$, $n=1,2,...$ . This allows one to classify a certain oracle function by just one query, instead of the $2^{n-1}+1$ queries required by classical means. The given algorithm for two qudits also solves efficiently the Bernstein-Vazirani problem. Entanglement does not occur at any step of the computation.

研究动机与目标

• 将德意志原始的两量子比特算法推广至高维量子系统（qudit），以提升效率。
• 证明单个 $ d $-level qudit（$ d = 2^n $）可在解决广义德意志问题时，实现与 $ n $ 个量子比特等效的计算能力。
• 表明在此情境下，实现量子加速无需纠缠，与原始德意志-ジョーズァ算法形成对比。
• 探索使用单粒子 qudit 系统作为可扩展、低纠缠量子计算基础的可行性。

提出的方法

• 该算法使用两个 qudit：一个控制 qudit 处于叠加态 $ |0_H\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{x=0}^{d-1}|x\rangle $，一个辅助 qudit 处于态 $ |1_H\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{x=0}^{d-1}(-1)^{f(x)}|x\rangle $。
• 应用受控酉门 $ U_f $，其定义为 $ U_f|x\rangle|y\rangle = |x\rangle|y \oplus f(x)\rangle $，该门根据函数值在控制 qudit 上引发相位翻转。
• 门 $ U_f $ 仅通过相位回授机制使控制与辅助 qudit 产生关联，而非通过控制寄存器本身的纠缠。
• 在控制 qudit 上应用 Hadamard 变换后，通过测量其状态可判断函数 $ f $ 是否为常数或平衡态：$ |0_H\rangle $ 表示常数，正交态表示平衡。
• 该方法可推广至多值函数 $ f: \{0,\dots,d-1\} \to \{0,\dots,d-1\} $，通过相同的相位态分析确定奇偶性（常数或平衡）。
• 该算法被重新表述，消除了辅助 qudit，使系统简化为单个 $ d $-level qudit，其受控相位门为 $ U_f|x\rangle = (-1)^{f(x)}|x\rangle $，从而实现单粒子量子计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 德意志算法能否推广至维度 $ d = 2^n $ 的 qudit 系统，以在更少物理系统下保持量子加速？
• RQ2 控制寄存器中不存在纠缠是否会影响该算法解决广义德意志问题的能力？
• RQ3 单个维度为 $ d = 2^n $ 的 qudit 是否能模拟 $ n $ 个量子比特在解决常数/平衡函数问题中的行为？
• RQ4 多值逻辑与高维量子系统的使用如何影响量子算法的设计与效率？
• RQ5 qudit 系统中的相位回授机制能否扩展至解决更广泛的问题，如多值函数中的奇偶性分类？

主要发现

• 该算法以单次查询解决函数 $ f: \{0,\dots,d-1\} \to \{0,1\} $ 的广义德意志问题，实现确定性结果，且控制寄存器中完全无纠缠。
• 当 $ d = 2^n $ 时，单个 qudit 的计算能力与 $ n $ 个量子比特等价，因两者均具有 $ 2^n $-维的希尔伯特空间。
• 该方法完全避免了纠缠，与通常需要多量子比特纠缠的德意志-ジョーズァ算法形成鲜明对比。
• 该算法通过相同的相位回授机制，高效解决伯恩斯坦-瓦济拉尼问题，即通过一次查询识别隐藏的线性函数。
• 该算法可推广至多值函数 $ f: \{0,\dots,d-1\} \to \{0,\dots,d-1\} $，通过测量变换后的控制 qudit 状态，可确定其为常数或平衡奇偶性。
• 该算法的优化版本仅使用单个 $ d $-level qudit 及仅含相位的门 $ U_f|x\rangle = (-1)^{f(x)}|x\rangle $，从而实现单粒子量子计算模型。