[论文解读] Generalization of the multiplicative and additive compounds of square matrices and contraction in the Hausdorff dimension

Chengshuai Wu, Raz Pines+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2020

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文将整数阶乘法型与加法型复合矩阵推广至实数阶 $\alpha$，在非线性动力系统中实现了收缩性质的连续谱。核心贡献是引入了 $\alpha$-收缩系统，其动力学会收缩 Hausdorff 维度超过 $\alpha$ 的集合，扩展了经典收缩理论，并为分形维数、稳定性及控制综合提供了一个统一框架。

ABSTRACT

The $k$ multiplicative and $k$ additive compounds of a matrix play an important role in geometry, multi-linear algebra, the asymptotic analysis of nonlinear dynamical systems, and in bounding the Hausdorff dimension of fractal sets. These compounds are defined for integer values of $k$. Here, we introduce generalizations called the $α$ multiplicative and $α$ additive compounds of a square matrix, with $α$ real. We study the properties of these new compounds and demonstrate an application in the context of the Douady and Oesterlé Theorem. This leads to a generalization of contracting systems to $α$ contracting systems, with $α$ real. Roughly speaking, the dynamics of such systems contracts any set with Hausdorff dimension larger than $α$. For $α=1$ they reduce to standard contracting systems.

研究动机与目标

• 将仅针对整数 $k$ 定义的 $k$-阶收缩系统经典理论推广至实数参数 $\alpha \in \mathbb{R}$。
• 定义并分析方阵的 $\alpha$ 乘法复合与 $\alpha$ 加法复合，推广标准的 $k$-复合矩阵。
• 通过实数阶复合提供 Douady 与 Oesterlé 关于分形维数界之定理的连续几何解释。
• 提出一类新系统——$\alpha$-收缩系统，其根据集合的 Hausdorff 维度实现收缩，推广了传统的二元收缩概念。
• 通过允许连续的收缩水平而非离散的 $k$-阶选择，实现控制综合与优化中的新应用。

提出的方法

• 将矩阵 $A$ 的 $\alpha$ 乘法复合定义为通过分数阶子式对整数 $k$-乘法复合进行连续插值。
• 将 $\alpha$ 加法复合定义为 $\alpha$ 乘法复合在 $\varepsilon=0$ 处的导数，通过分数阶泰勒展开推广标准的 $k$-加法复合。
• 利用广义复合矩阵定义 $\alpha$-Jacobian $J_f^{[\alpha]}(x)$ 为整数阶加法复合的凸组合：当 $\alpha = k+s$，$s \in (0,1)$ 时，$J_f^{[\alpha]} = (1-s)J_f^{[k]} + sJ_f^{[k+1]}$。
• 对 $\alpha$-Jacobian 应用 $\mu_1$-范数（最大行和）以评估收缩性：若 $\mu_1(J_f^{[\alpha]}) < 0$，则系统为 $\alpha$-收缩。
• 在三维 Lorenz 类系统上验证该方法，表明当 $b < 1/2$ 时，若 $s > \frac{1-2b}{1+b}$，系统为 $\alpha = 2+s$-收缩。
• 设计一个部分状态控制器 $g(x) = \text{diag}(c,c,0)x$，其中 $c < 0$，并推导出确保 $\alpha$-收缩行为的 $c$ 的条件：$\mu_1(J_g^{[\alpha]}) < s(b+1) + 2b - 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准的 $k$-乘法复合与 $k$-加法复合矩阵如何推广至超越整数的实数 $\alpha$？
• RQ2 动力系统中的收缩概念能否从离散的 $k$-阶扩展至连续的 $\alpha$-阶框架？
• RQ3 广义复合矩阵如何与吸引子的 Hausdorff 维度相关联，特别是在 Douady 与 Oesterlé 定理的背景下？
• RQ4 $\alpha$-收缩系统能否用于设计控制器，以保证具有分形动力学的系统实现有序行为（如收敛至平衡点）？
• RQ5 $\alpha$-Jacobian 的 $\mu_1$-范数在确定非整数 $\alpha$ 的收缩程度中起什么作用？

主要发现

• $\alpha$-乘法复合与 $\alpha$-加法复合通过整数 $k$-复合的插值在实数 $\alpha$ 下有良好定义，保持了如 Cauchy-Binet 公式和线性等关键代数性质。
• 当 $\alpha = k + s$ 且 $s \in (0,1)$ 时，$\alpha$-Jacobian 定义为凸组合 $J_f^{[\alpha]} = (1-s)J_f^{[k]} + sJ_f^{[k+1]}$，从而实现连续收缩分析。
• 若 $\mu_1(J_f^{[\alpha]}) < 0$，则系统为 $\alpha$-收缩，这意味着所有 Hausdorff 维度大于 $\alpha$ 的集合都会随时间被收缩。
• 对于 $b < 1/2$ 的三维系统，当 $s > \frac{1-2b}{1+b}$ 时，系统实现 $\alpha = 2+s$-收缩行为。
• 控制器 $g(x) = \text{diag}(c,c,0)x$ 且 $c < 0$，若满足 $c < \frac{s(b+1) + 2b - 1}{1+s}$，则可确保 $\alpha$-收缩行为，从而提供稳定闭环动力学的设计规则。
• 该框架推广了经典收缩理论：当 $\alpha = 1$ 时，$\alpha$-收缩系统退化为标准的 1 阶收缩系统；当 $\alpha = 2$ 时，可排除混沌吸引子与极限环。