[论文解读] Generalization of the simplicial depth: no vanishment outside the convex hull of the distribution support

Giacomo Francisci, Alicia Nieto-Reyes+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2019

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出了两种新颖的单纯形深度推广方法，通过单纯形扩展或分布扩展，使深度值在分布支撑的凸包外部不为零，从而能够对所有点赋予有意义的深度值。所提出的估计量具有一致性、渐近正态性，且在分类任务中表现优于经典深度方法，尤其当异常点位于凸包之外时表现更优。

ABSTRACT

The simplicial depth, like other relevant multivariate statistical data depth functions, vanishes right outside the convex hull of the support of the distribution with respect to which the depth is computed. This is problematic when it is required to differentiate among points outside the convex hull of the distribution support, with respect to which the depth is computed, based on their depth values. We provide the first proposal for simplicial depth which do not vanish right outside the convex hull of the distribution. The properties of the proposal and of the corresponding estimator are studied theoretically and by means of Monte Carlo simulations and analysis of datasets.

研究动机与目标

• 解决经典单纯形深度在分布支撑凸包外部消失的局限性，该问题阻碍了对异常点的分类。
• 提出一种单纯形深度的推广方法，使凸包外部的点也能获得正的深度值，从而实现对这些点的区分。
• 在较弱的正则性条件下，确保所提深度估计量的理论一致性和鲁棒性。
• 在训练集与测试集分布凸包不重叠的情况下，证明所提方法在监督分类任务中表现更优。
• 提供一个实用的框架，通过交叉验证和实证评估选择广义深度估计量中的关键参数 σ。

提出的方法

• 在单纯形深度的定义中引入 σ 扩展的单纯形，其中单纯形顶点通过随机扰动扩展，使点可落入原始凸包之外。
• 将 σ-单纯形深度定义为：某点位于由来自原始分布的经位置尺度变换后的分布中抽取的顶点所形成的单纯形内部的概率。
• 使用 U-统计量估计广义深度函数，确保经验过程的一致性和渐近正态性。
• 提出两种变体：一种基于单纯形扩展（σ-单纯形深度），另一种通过独立随机变量的仿射组合扩展底层分布。
• 建立理论性质，如 σ 的连续性、在仿射组合下对称性和连续性的继承性，以及深度截断区域的单调性。
• 应用交叉验证选择使分类错误率最小的最优 σ 参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将单纯形深度推广，使其对分布支撑凸包外部的点赋予正的深度值，从而实现对这些点的分类？
• RQ2 所提出的单纯形深度推广方法在不同 σ 值下的行为如何？其估计量的连续性和一致性如何？
• RQ3 在较弱的正则性条件下，广义深度函数是否继承了统计深度的关键理论性质，如中心点处最大值和单调性？
• RQ4 与不消失于凸包外部的现有深度函数（尤其是 Tukey 深度变体）相比，所提估计量在分类准确率方面表现如何？
• RQ5 在实践中，选择 σ 参数的最佳策略是什么？其对真实和模拟数据集中错误分类率的影响如何？

主要发现

• 所提出的 σ-单纯形深度和分布扩展深度估计量在分布支撑的凸包外部不为零，从而实现了对所有点的基于深度的分类。
• 基于单纯形扩展的 σ-单纯形深度估计量在分类任务中持续优于其他方法，在四个真实数据集中均实现了最低的中位错误分类率。
• 通过交叉验证选择 σ 参数的结果仅略逊于最佳情况，表明该方法具有鲁棒性和实际应用价值。
• 在较弱条件下，分布扩展深度估计量满足更多理论深度性质（如单调性、连通的深度区域），提供了更强的理论基础。
• 蒙特卡洛模拟显示，错误分类率随 σ 呈 U 型变化：先下降，后稳定，再缓慢上升，最优 σ 选择为使中位误差最小的最小值。
• 在阿尔茨海默病数据集中，使用 σ-单纯形深度，6 个外部点中有 4 个被正确分类为轻度或重度阶段，而经典单纯形深度对所有点均赋予零深度，导致无法分类。