[论文解读] Generalization of van Lambalgen's theorem and blind randomness for conditional probability

Hayato Takahashi|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文在不假设条件概率可计算的前提下，将 van Lambalgen 定理推广至盲（Hippocratic）随机性。它确立了该定理成立的充分条件，引入了一种似然比检验以分类盲随机性，并提出了一个反例，表明即使条件概率不可计算，该定理依然成立，从而解决了先前在算法随机性研究中存在的一些模糊问题。

ABSTRACT

Generalization of the Lambalgen's theorem is studied with the notion of Hippocratic (blind) randomness without assuming computability of conditional probabilities. In [Bauwence 2014], a counter-example for the generalization of Lambalgen's theorem is shown when the conditional probability is not computable. In this paper, it is shown that (i) finiteness of martingale for blind randomness, (ii) classification of two blind randomness by likelihood ratio test, (iii) sufficient conditions for the generalization of the Lambalgen's theorem, and (iv) an example that satisfies the Lambalgen's theorem but the conditional probabilities are not computable for all random parameters.

研究动机与目标

• 将 van Lambalgen 定理推广至盲随机性，且不假设条件概率可计算。
• 通过识别定理成立的充分条件，解决先前推广工作中存在的不一致问题。
• 利用似然比检验对盲随机性进行分类。
• 构造一个反例，表明即使所有条件概率对随机参数均不可计算，van Lambalgen 定理依然成立。

提出的方法

• 通过鞅有限性视角分析盲随机性，将其与条件概率空间中的算法随机性相联系。
• 应用似然比检验以区分不同类型的盲随机性。
• 识别出在条件概率不可计算的情况下，van Lambalgen 定理推广成立的充分条件。
• 以 Bauwence (2014) 的一个反例为基础，证明条件概率不可计算并不必然使该定理失效。
• 采用算法随机性理论与基于鞅的定义，形式化非可计算设定下的盲随机性。
• 整合先前关于条件算法随机性的研究成果，拓展 van Lambalgen 定理的适用范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 当条件概率不可计算时，van Lambalgen 定理在何种条件下可推广至盲随机性？
• RQ2 能否使用似然比检验对盲随机性进行分类？该分类与算法随机性有何关联？
• RQ3 在不可计算的条件概率设定下，广义 van Lambalgen 定理成立的充分条件是什么？
• RQ4 当所有条件概率对随机参数均不可计算时，van Lambalgen 定理是否仍可能成立？
• RQ5 在缺乏可计算条件概率的情况下，鞅有限性与盲随机性之间有何关系？

主要发现

• 即使条件概率不可计算，鞅的有限性仍是盲随机性的关键判据。
• 似然比检验可有效分类不同类型的盲随机性，为区分随机性类别提供实用工具。
• 已识别出在不依赖条件概率可计算性的前提下，广义 van Lambalgen 定理成立的充分条件。
• 构造了一个具体反例，表明即使所有条件概率对随机参数均不可计算，van Lambalgen 定理依然成立。
• 本文通过证明不可计算条件概率并不必然使定理推广失效，解决了先前研究中的一个关键模糊问题。