[论文解读] Generalization of Zak's phase for lattice models with non-centered inversion symmetry axis

A. M. Marques, R. G. Dias|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Random Matrices and Applications被引用 3

一句话总结

本文将 Zak 相位推广至一维晶格模型，适用于其反演对称轴未位于原胞中心的情况。研究发现，由于反演算符中存在 k 依赖的矩阵元，标准 Zak 相位失去量化特性，因此提出了一种修正表达式，通过引入 k 依赖的修正项，使相位恢复为 π-量化值，从而在非中心反演对称系统中实现拓扑不变量。

ABSTRACT

We show how the presence of inversion symmetry in a one-dimensional (1D) lattice model is not a sufficient condition for a quantized Zak's phase. This is only the case when the inversion axis is at the center of the unit cell. When the inversion axis is not at the center, the modified inversion operator within the unit cell gains a k-dependence in some of its matrix elements which adds a correction term to the usual Zak's phase expression1, making it in general deviate from its quantized value. A general expression that recovers a quantized Zak's phase in a lattice model with a unit cell of arbitrary size and arbitrarily positioned inversion axis is provided in this paper, which relates the quantized value with the eigenvalues of a modified parity operator at the inversion invariant momenta.

研究动机与目标

• 解决当反演对称存在但其对称轴不位于原胞中心时，标准 Zak 相位无法保持量化的问题。
• 识别非量化现象的根源，即原胞内反演算符中存在 k 依赖的矩阵元。
• 推导适用于任意原胞尺寸和反演轴位置的广义、量化 Zak 相位表达式。
• 在反演对称动量点（k = 0 和 k = π）处建立修正的宇称算符，以正确预测量化 Zak 相位。
• 提供一种适用于一维系统（包括准一维和纳米带系统）中非中心反演对称性的稳健拓扑不变量。

提出的方法

• 在原胞内推导修正的反演算符，表明当反演轴偏离中心时，其具有 k 依赖性。
• 识别 Zak 相位表达式中的修正项，其源于修正反演算符的非厄米性与 k 依赖性。
• 利用威尔逊环路形式化方法表达 Zak 相位，并从反演算符在 k 空间中的非幺正演化中推导相位修正。
• 在 k = 0 和 k = π 处引入修正的宇称算符，其本征值决定修正后的 Zak 相位。
• 将修正后的 Zak 相位应用于模型系统（SSH、t₁t₁t₂t₂、t₁t₁t₁t₂），并验证其与边缘态物理及 Wannier 中心计算的一致性。
• 证明不同反演轴选择之间的相位差恰好为 π，与拓扑相变一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维晶格模型中，当存在反演对称但其对称轴不位于原胞中心时，标准 Zak 相位在何种条件下会失去量化？
• RQ2 原胞尺度反演算符的 k 依赖性如何影响 Zak 相位及其量化特性？
• RQ3 当反演轴不位于原胞中心时，必须向 Zak 相位添加何种修正项，才能恢复 π-量化？
• RQ4 如何利用反演对称动量点处的修正宇称算符，预测此类系统中正确的拓扑不变量？
• RQ5 广义 Zak 相位是否可应用于具有非中心反演对称性的准一维系统和纳米带系统？

主要发现

• 当反演轴不位于原胞中心时，由于反演算符中存在 k 依赖的矩阵元，标准 Zak 相位不再保持量化。
• 必须向 Zak 相位添加与 k 空间中 |u_j,A(k)|² 的积分成正比的修正项，才能恢复 π-量化。
• 修正后的 Zak 相位 ˜γ_j 保持量化，并且无论反演轴位置如何，均可作为拓扑不变量。
• 对于如 t₁t₁t₂t₂ 这类在任何原胞中均无中心反演轴的模型，广义 Zak 相位对拓扑表征至关重要。
• 同一原胞内不同反演轴选择之间的相位差恰好为 π，与拓扑相变一致。
• 数值验证表明，当修正后的 Zak 相位发生 π 的相位跃迁时，边缘态恰好出现，与修正宇称本征值的预测完全一致。