[论文解读] Generalization on the higher moments of the Fourier coefficients of symmetric power $L$-functions

K. Venkatasubbareddy|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2026

Advanced Mathematical Identities被引用 0

一句话总结

该论文证明了对对称幂L函数的傅里叶系数的幂之和的一般均值公式，并在误差项上加以改进，将先前结果推广到所有 lj ≥ 4，给出明确的指数组 bounds.

ABSTRACT

For an even integer $k\geq 2$, let $f$ be a primitive holomorphic cusp form of weight $k$ for the full modular group $SL(2,\mathbb{Z})$ and let $λ_{ m{sym}^jf}(n)$ denote the $n^ ext{th}$ normalized Fourier coefficient of the $j^{ ext{th}}$ symmetric power $L$-function $L(s,{ m{sym}}^j f)$. It has been an interesting problem to study the average behaviour of $λ_{ m{sym}^jf}(n)$ and their higher powers, and many researchers in the literature have studied the sum \begin{equation*} \sum_{n\leq x} λ_{ m{sym}^j}^l(n), \end{equation*} for various values of $l$ and $j$. In this paper, we improve and generalize previously known results concerning the sum above for positive integers $l$ and $j$ such that $lj\geq 4$.

研究动机与目标

• 研究对称幂 L 函数系数高阶矩的平均行为的动机
• 将现有的均值结果推广到 lj ≥ 4 的 λ_sym^j(n)^l 的和
• 通过 L_{l,j}(s) 构造提供依赖于 j 和 l 的显式渐近形式与误差项
• 将解析框架扩展到覆盖偶、奇 lj 情况并统一先前的特殊情况

提出的方法

• 将 λ_sym^j(n) 定义为 j 阶对称幂 L 函数 L(s, sym^j f) 的归一化傅里叶系数
• 构造相关的 L 函数 L_{l,j}(s) 作为 λ_sym^j(n)^l 的 Dirichlet 串，并将其分解为涉及 L(s, sym^{·} f) 的幂与ζ因子的 Euler积
• 应用 Perron 公式与解析延拓来移动积分线并从 L_{l,j}(s) 的极点处提取主项与误差项
• 使用引理将 λ_sym^j(p)^l 表示为 λ_sym^{lj-2m}(p) 的线性组合，并推导构造的 L_{l,j}(s) 的次数 D = (j+1)^l
• 建立竖直线上的 L 函数界、应用均方界和 Heath-Brown 型估计，并通过优化轮廓参数 T 以得到指数组 θ_{l,j}
• 分别处理偶 lj 与奇 lj 情况，对 lj=4 与 lj≥6 场景进行单独处理，并对 l=j=2 给出特定处理

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 lj ≥ 4，∑_{n≤x} λ_sym^j(n)^l 的均值是什么？
• RQ2 如何将这些高阶矩表示为标准 L 函数和ζ因子之积的形式与幂次？
• RQ3 已知的最佳误差指数组 θ_{l,j} 是多少，如何改进？
• RQ4 结果是否可以对偶、奇 lj 统一，包括 lj=4 与 l=j=2 这样的特殊情况？
• RQ5 相关的 L_{l,j}(s) 的结构性质如何控制渐近公式中的主项与误差项？

主要发现

• 对于 lj 偶数，∑_{n≤x} λ_sym^j(n)^l(n) 等于 x 乘以关于 log x 的多项式，次数为 d_{lj/2}-1，加上误差项 ≤ x^{θ_{l,j}+ε}
• 对于 lj 奇数，和被 x^{θ_{l,j}+ε} 的界限所支配，没有主项
• 构造的 L_{l,j}(s) 的次数为 D = (j+1)^l，系数满足来自展开 (1+x^2+...+x^{2j})^l 的详细组合关系（c_m, d_m, e_m）
• 给出 θ_{l,j} 的显式公式，分别取决于 lj 为偶还是奇，并显示出对先前指数组的改进
• 对 l=j=2 的情况给出单独的细化处理，采用定制的轮廓和极点分析
• 总体上，结果将离散均方根类型的估计扩展到广泛的对称幂系数族，并改进了先前的误差项