[论文解读] Generalize Heisenberg Groups and Self-Duality

Marco Bonatto, Dikran Dikranjan|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文建立了局部紧的Mumford群（其中心同构于圆群𝕋）与广义海森堡群之间的精确对应关系，表明在这些条件下，它们恰好与Mackey-Weil群重合。该文通过证明有限群上的辛自对偶性可上延至此类群，解决了关键的开放问题，并通过上同调条件对cocycle的性质，确定了Mumford群不成为广义海森堡群的情形。

ABSTRACT

This paper compares two generalizations of Heisenberg groups and studies their connection to one of the major open problems in the field of locally compact abelian groups, namely the description of the self-dual locally compact abelian groups ([12]). The first generalization is presented by the so called generalized Heisenberg groups $\mathbb{H}(ω)$, defined in analogy with the classical Heisenberg group and the second one is inspired by the construction proposed by Mumford in [16] and named after him as Weyl-Mumford groups (WM groups). These two families can be defined also in the framework of topological groups. We investigate the relationship between locally compact WM groups, locally compact Generalized Heisenberg with center isomorphic to $\mathbb{T}$ and symplectic self-dualities.

研究动机与目标

• 澄清两类海森堡群推广形式之间的关系：广义海森堡群ℍ(ω)与Mumford群。
• 研究局部紧的Mumford群（其中心𝑍(𝐺) ≅ 𝕋）在何种条件下同构于广义海森堡群ℍ(ω)。
• 通过将问题与辛自对偶性及群扩张联系起来，解决对局部紧阿贝尔群进行自对偶分类的开放问题。
• 利用上同调障碍确定是否存在中心𝑍(𝐺) ≅ 𝕋的Mumford群不是广义海森堡群。

提出的方法

• 将广义海森堡群ℍ(ω)定义为通过连续双线性映射ω: 𝐸 × 𝐹 → 𝐴，对阿贝尔群𝐸、𝐹和𝐴的中心扩张。
• 将Mumford群定义为2阶幂零群，其中Mumford映射𝑀: 𝐺/𝑍(𝐺) → Hom(𝐺/𝑍(𝐺), 𝑍(𝐺))是拓扑同构。
• 利用交换子映射与庞特里亚金对偶性，建立拓扑Mumford映射𝑀𝑡与𝐾 = 𝐺/𝑍(𝐺)上的辛自对偶性∇之间的典范同构。
• 使用上同调技术，通过连续cocycle 𝛾: 𝐾 × 𝐾 → 𝕋，将拓扑Mumford映射𝑀𝑡表示为公式：𝑀𝑡(𝑥)(𝑦) = −𝛾(𝑥,−𝑥) − 𝛾(𝑦,−𝑦) + 𝛾(−𝑥,−𝑦) + 𝛾(𝑥,𝑦) + 𝛾(−𝑥−𝑦,𝑥+𝑦)。
• 通过同构𝜑: 𝐴 × Â → 𝐾，使得∇(𝑥)(𝑦) = 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑦)，其中𝜑(𝑥,𝑓) = 𝑥，𝜑(𝑦,𝑔) = 𝑦，刻画标准自对偶性(𝐾, ∇)。
• 应用文献[22]中的结果，证明每个有限辛自对偶性均源于广义海森堡群，并利用此构造出非广义海森堡的Mumford群。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个局部紧的Mumford群𝐺满足𝑍(𝐺) ≅ 𝕋时，它在何种条件下同构于广义海森堡群ℍ(ω)？
• RQ2 每个局部紧阿贝尔群𝐾上的辛自对偶性(𝐾, ∇)是否都可作为某个满足𝑍(𝐺) ≅ 𝕋的局部紧群𝐺的拓扑Mumford映射？
• RQ3 是否存在中心𝑍(𝐺) ≅ 𝕋但不与任何广义海森堡群同构的Mumford群？
• RQ4 对cocycle 𝛾: 𝐾 × 𝐾 → 𝕋，其何种上同调条件可确保相关群扩张𝐺满足𝑀𝑡 = ∇？

主要发现

• 一个局部紧的Mumford群𝐺满足𝑍(𝐺) ≅ 𝕋，当且仅当其拓扑Mumford映射𝑀𝑡是𝐾 = 𝐺/𝑍(𝐺)上的辛自对偶性。
• 中心𝑍(𝐺) ≅ 𝕋的局部紧Mumford群中，既是广义海森堡群的群类，恰好与Mackey-Weil群ℍ(𝐸)（𝐸为LCA群）的类完全一致。
• 对有限群𝐾，每个辛自对偶性(𝐾, ∇)都可作为广义海森堡群的Mumford映射，因此此类群作为𝐾与𝕋的扩张存在。
• 若存在辛自对偶性(𝐾, ∇)，使得𝐾 ≇ 𝐴 × Â对任意LCA群𝐴成立，则存在中心𝑍(𝐺) ≅ 𝕋但非广义海森堡群的Mumford群。
• 对属于𝑁₂类且𝑍(𝐺) ≅ 𝕋的群𝐺，其Mumford映射𝑀𝑡由涉及连续cocycle 𝛾的上同调公式给出，且𝑀𝑡 = ∇当且仅当cocycle满足特定的多项式恒等式。
• 通过上同调提升构造此类群，证实若问题7.3的答案为正，则问题7.5的答案也为正，从而提供了一类新的非海森堡Mumford群。