[论文解读] Generalized adaptive partition-based method for two-stage stochastic linear programs : convergence and generalization

Maël Forcier, Vincent Leclère|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 17被引用 1

一句话总结

该论文提出G2APM，一种针对具有固定回收的两阶段随机线性规划问题的广义自适应分区分法，利用对偶可行集的法线扇形（normal fan）提供分区分适应的充要条件。该方法证明了在有限和连续分布下的收敛性，扩展了先前的APM方法，并提供收敛的上界。数值结果表明，其在Prod-Mix和CVaR等基准问题上能获得紧致的上界。

ABSTRACT

Adaptive Partition-based Methods (APM) are numerical methods to solve two-stage stochastic linear problems (2SLP). The core idea is to iteratively construct an adapted partition of the space of alea in order to aggregate scenarios while conserving the true value of the cost-to-go for the current first-stage control. Relying on the normal fan of the dual admissible set, we extend the classical and generalized APM method by i) extending the method to almost arbitrary 2SLP, ii) giving a necessary and sufficient condition for a partition to be adapted even for non-finite distribution, and iii) proving the convergence of the method. We give some additional insights by linking APM to the L-shaped algorithm.

研究动机与目标

• 将自适应分区分法（APM）扩展至具有连续分布和固定回收的一般两阶段随机线性规划问题。
• 基于对偶可行集的法线扇形，建立一个分区分适应的充要条件。
• 证明广义方法（G2APM）在有限和连续分布下的收敛性。
• 在无需额外计算成本的情况下，为期望的后继成本函数提供收敛的上界。
• 通过涉及切锥的统一几何解释，统一APM、GAPM与L-shaped方法。

提出的方法

• 该方法利用对偶可行集D的法线扇形，定义一个分区分适应于第一阶段决策x的充要条件。
• 将期望后继成本表述为分区内区域的总和，其中每个区域使用随机向量ξ的条件期望。
• 通过基于对偶法锥的区域分裂，迭代地细化分区分区，确保聚合的回收成本与真实期望后继成本一致。
• 利用多面体几何与polymake中的H/V-表示，同时计算条件期望、概率与分区分区的细化。
• 通过固定技术矩阵T，在低维情况下避免双重描述问题，实现分区分锥的高效V-表示。
• 将APM、GAPM与L-shaped方法解释为通过精确切锥而非切割平面来逼近期望后继成本，从而支持收敛性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有连续分布的一般两阶段随机线性规划问题，推导出分区分适应的充要条件？
• RQ2 如何将自适应分区分法推广至非有限支撑分布和固定技术矩阵之外的情形？
• RQ3 在逼近策略与收敛性方面，G2APM方法与L-shaped方法之间存在何种关系？
• RQ4 该方法能否在无需额外计算的情况下，提供最优值的收敛上界？
• RQ5 G2APM在具有连续型随机变量的基准问题上的计算复杂度与实际性能如何？

主要发现

• G2APM证明了具有固定回收和一般连续分布的两阶段随机线性规划问题的收敛性，扩展了先前的APM与GAPM方法。
• 该方法基于对偶可行集的法线扇形，建立了分区分适应的充要条件，即使在非有限分布下也成立。
• 在Prod-Mix问题中，G2APM在第10次迭代时达到下界−17711.56与上界−17711.57，间隙仅为0.01，表明其具有高精度。
• 该方法可免费提供收敛的上界，因为上界在每次迭代中均被更新并单调改善。
• 数值结果表明，G2APM在性能上与先前方法相当或更优，其上界紧致程度可与10,000次样本SAA（95%置信区间：−17711 ± 2.2）相媲美。
• 该方法揭示了APM、GAPM与L-shaped方法之间的几何联系，表明它们均通过精确切锥而非切割平面来逼近期望后继成本。