[论文解读] Generalized almost periodic and generalized asymptotically almost periodic type functions in Lebesgue spaces with variable exponents $L^{p(x)}$

Toka Diagana, Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文在变指数勒贝格空间 $L^{p(x)}$ 中引入了广义几乎周期函数与渐近几乎周期函数，建立了新的 $S^{p(x)}$-几乎周期函数类，该类扩展了经典的几乎周期性理论。作者证明了这些函数的关键性质，并将其应用于证明巴拿赫空间中抽象伏尔泰积分微分方程与分数阶微分方程解的存在性及定性行为。

ABSTRACT

In the paper under review, we introduce the notions of various types of generalized (asymptotical) almost periodicity with variable exponents. We define and thoroughly analyze an important subclass of (asymptotically) Stepanov almost periodic functions which contains all (asymptotically) almost periodic functions. We provide a great number of relevant applications to abstract Volterra integro-differential equations in Banach spaces.

研究动机与目标

• 将几乎周期函数理论推广至变指数勒贝格空间 $L^{p(x)}$。
• 定义并分析一类新的 $S^{p(x)}$-几乎周期函数与渐近 $S^{p(x)}$-几乎周期函数。
• 建立抽象伏尔泰积分微分方程与分数阶微分方程在巴拿赫空间中解的存在性与有界性的充分条件。
• 通过引入变指数并证明其在 $L^{p(x)}$ 框架下的适用性，推广已知的几乎周期性结果。

提出的方法

• 利用 $[0,1]$ 上的变指数 $p(x)$ 的斯蒂潘诺夫型范数，定义 $S^{p(x)}$-几乎周期函数。
• 证明 $S^{p(x)}$-几乎周期函数广义化了经典的 $S^p$-几乎周期函数，并包含所有几乎周期函数。
• 利用 $L^{q(x)}[0,1]$ 中的卷积结构与预解族 $(R(t))_{t>0}$ 的性质，其中 $1/p(x) + 1/q(x) = 1$。
• 通过积分方程应用广义函数空间框架，分析抽象柯西问题的弱解。
• 在 $L^{r_1(x)}[0,1]$ 与 $L^{r_2(x)}[0,1]$ 中建立扰动项的收敛条件，以确保渐近行为。
• 利用多值线性算子与退化预解族理论，建立抽象微分包含的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将几乎周期性的概念推广至变指数勒贝格空间 $L^{p(x)}$ 中的函数？
• RQ2 $S^{p(x)}$-几乎周期函数与经典 $S^p$-几乎周期函数之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，抽象伏尔泰积分微分方程的解在 $S^{p(x)}$ 意义下是渐近几乎周期的？
• RQ4 该理论能否应用于具有卡波托或威利-刘维尔导数的分数阶微分方程？
• RQ5 涉及预解族的卷积积分在变指数范数下的收敛性需满足何种充分条件？

主要发现

• 任何几乎周期函数对于任意 $p(x) \in \mathcal{P}([0,1])$ 均为 $S^{p(x)}$-几乎周期函数，且任意 $S^{p(x)}$-几乎周期函数均为斯蒂潘诺夫 1-几乎周期函数。
• 在 $R(\cdot)$ 与 $q(s)$ 满足可积性与衰减条件时，函数 $H(t) = \int_0^t R(t-s)f(s)\,ds$ 是良定义的、有界的，并属于 $APS^{p(x)}(\mathbb{R}:X) + S^{r_1(x)}_0([0,\infty):X) + S^{r_2(x)}_0([0,\infty):X)$。
• 当 $\|T(\cdot)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$ 且对 $k \geq 1$ 有 $\|R(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} \leq Me^{-ck}$ 时，有 $\sum_{k=0}^\infty \|R(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$，从而确保主要命题的适用性。
• 对于 $\gamma \in (0,1)$，预解族 $R_\gamma(t)$ 满足 $\|R_\gamma(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} \leq M_2 k^{-1-\gamma}$，因此 $\sum_{k=0}^\infty \|R_\gamma(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$，使得可应用命题 5.1。
• 分数弛豫包含方程 (DFP)$_{f,\gamma}$ 的弱解 $u(t) = S_\gamma(t)x_0 + \int_0^t R_\gamma(t-s)f(s)\,ds$ 是良定义的，并继承了强迫项 $f$ 的渐近行为。
• 命题 5.3 将 [20, 命题 2.13] 推广至变指数情形，表明解类在 $L^{p(x)}$-空间中的有限卷积积下保持稳定。