[论文解读] Generalized André-Quillen Cohomology

David Blanc|ArXiv.org|Feb 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 56被引用 6

一句话总结

本文通过使用图示（sketches）和模型范畴，将 André-Quillen 上同调推广至涵盖代数与广义（上）同调理论，统一了不同范畴中导出函子的处理方式。其核心贡献是建立了一个连接同调与上同调的通用系数谱序列，该理论在空间、谱、操作子及图示中具有应用。

ABSTRACT

We explain how the approach of Andre and Quillen to defining cohomology and homology as suitable derived functors extends to generalized (co)homology theories, and how this identification may be used to study the relationship between them. As a side benefit, we clarify exactly what assumptions on an (algebraic) category are needed in order for the approach of Beck and Andre-Quillen to work. We also show how the description may be applied to construct universal coefficient and reverse Adams spectral sequences.

研究动机与目标

• 在导出函子的基础上，建立一个统一框架，涵盖代数与广义（上）同调理论。
• 阐明 André-Quillen 的导出函子方法适用的范畴条件。
• 将理论扩展至空间、谱、操作子及图示的广义上同调。
• 在统一的设定下，建立关联同伦、同调与上同调的谱序列。
• 通过识别表示函子何时产生上同调理论，提供布朗表示性的对偶。

提出的方法

• 使用图示（广义理论）来描述代数结构，包括操作子及其代数。
• 在 enriched 范畴中的单纯与余单纯对象上使用模型范畴来定义导出函子。
• 引入一个完整的上同调设定，包含对称张量范畴 V、范畴 C 以及图示 Φ。
• 将上同调定义为 into 一个 Φ-代数 G 的 Hom(−, G) 的总导出函子，取值于余单纯 Φ-代数。
• 应用总化函子 Tot，从余单纯对象中获得上同调群。
• 通过 Π-代数范畴中的同伦群与自由解析，构造谱序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 André-Quillen 上同调推广，以包含不稳定与广义上同调理论？
• RQ2 何种范畴条件可确保一个表示函子产生上同调理论？
• RQ3 在此广义框架下，同调与上同调之间有何关系？
• RQ4 能否构造出在统一方式下关联同伦、同调与上同调的谱序列？
• RQ5 操作子与图示在此广义上同调理论中起何种作用？

主要发现

• 存在一个通用系数谱序列，其 E2 页同构于 Π-代数范畴中的 Ext 群，收敛于广义上同调。
• 类似的谱序列将同调与导出张量积关联，其 E2 页同构于 Π-代数范畴中的 Tor 群。
• 对于空间的广义同调，谱序列为 E2_{s,t} ≅ Tor^{π-mod}_{s,t}(π_*K, G) ⇒ H_{t+s}(K;G)。
• 对于上同调，谱序列为 E2^{s,t} ≅ Ext^{s}_{t}(π_*K, G) ⇒ H^{t-s}(K;G)，与经典形式一致。
• 该理论在群、代数、谱、操作子及图示上统一适用，导出函子的定义保持一致。
• 构造了反向 Adams 型谱序列，通过余单纯对象的总化，将同伦与（上）同调关联。