[论文解读] Generalized Appell Systems

Yuri Kondratiev, José Luís da Silva+1 more|ArXiv.org|Aug 7, 1999

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 16被引用 47

一句话总结

本文通过用广义 μ-指数 $ e_{\mu}^{\alpha} $ 替代标准的 μ-指数，引入了无限维非高斯分析中的广义 Appell 系统，其中 $ \alpha $ 是在零附近全纯且可逆的函数。该文构建了双正交系统 $ (P^{\mu,\alpha}, Q^{\mu,\alpha}) $，使得所有 $ \alpha $ 下的测试函数空间与分布空间保持一致，从而为 chaos 分解、Wick 微积分和测度变换提供统一框架，且在泊松情形下可作为特例得到 Charlier 多项式。

ABSTRACT

We give a general approach to infinite dimensional non-Gaussian analysis which generalizes the work \cite{KSWY95}. For given measure we construct a family of biorthogonal systems. We study their properties and their Gel'fand triples that they generate. As an example we consider the measures of Poisson type.

研究动机与目标

• 将无限维非高斯分析中的 Appell 系统框架推广至超越高斯测度与光滑测度的情形。
• 通过广义 $ \mu $-指数 $ e_{\mu}^{\alpha} $（其中 $ \alpha \in \mathrm{Hol}_0(\mathcal{N}_{\mathbb{C}}, \mathcal{N}_{\mathbb{C}}) $）构造双正交系统 $ (P^{\mu,\alpha}, Q^{\mu,\alpha}) $，以实现更广泛的应用。
• 证明测试函数空间与分布空间不依赖于 $ \alpha $，从而在不同 $ \alpha $ 选择下提供统一的结构。
• 将 Wick 积与微积分扩展至该广义框架，保持与高斯分析的结构相似性。
• 证明在泊松型测度下，通过适当选择 $ \alpha $，可恢复经典 Charlier 多项式作为广义 Appell 多项式。

提出的方法

• 通过复化核空间 $ \mathcal{N}_{\mathbb{C}} $ 上的全纯可逆函数 $ \alpha $ 定义广义 $ \mu $-指数 $ e_{\mu}^{\alpha}(\theta, x) $，替代 [KSWY95] 中使用的标准指数。
• 将广义 Appell 多项式 $ P^{\mu,\alpha}_n(x) $ 定义为 $ e_{\mu}^{\alpha}(\theta, x) $ 关于 $ \theta $ 的幂级数展开的系数，并确保其与对偶系统 $ Q^{\mu,\alpha}_n $ 的双正交性。
• 通过 $ S_{\mu} $-变换与卷积 $ C_{\mu} $ 定义广义函数与分布的表征方式。
• 利用 $ S_{\mu} $-变换与微分算子描述 $ \mathbf{Q}^{\mu,\alpha} $-系统，从而建立类似于高斯分析的刻画定理。
• 通过恒等式 $ e_{\mu}^{\alpha} = e_{\tilde{\mu}}^{\alpha} \cdot l_{\mu}^{\alpha-1} \cdot l_{\tilde{\mu}}^{\alpha} $ 建立重排公式，进而导出广义函数的测度变换公式。
• 推导广义函数在测度变换下的变换规则：$ \Phi^{(n)} = \sum_{k+m+l=n} \frac{1}{m!l!} \tilde{\Phi}^{(k)} \hat{\otimes} P_m^{\mu,\alpha}(0) \hat{\otimes} M_l^{\tilde{\mu},\alpha} $，建立 $ \mu $-与 $ \tilde{\mu} $-系统之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Appell 系统框架从标准 $ \mu $-指数推广至更广泛的非高斯测度类？
• RQ2 通过 $ e_{\mu}^{\alpha} $ 构造的广义 Appell 系统 $ (P^{\mu,\alpha}, Q^{\mu,\alpha}) $ 的结构特性是什么？其对 $ \alpha $ 的选择如何敏感？
• RQ3 测试函数空间与分布空间是否独立于函数 $ \alpha $？若成立，这对框架的普遍性意味着什么？
• RQ4 Wick 积与微积分能否在该广义设定下自然扩展，同时保持其关键性质？
• RQ5 在泊松型测度的特例下，是否存在合适的 $ \alpha $ 选择，使得可恢复已知的正交多项式（如 Charlier 多项式）？

主要发现

• 所有 $ \alpha \in \mathrm{Hol}_0(\mathcal{N}_{\mathbb{C}}, \mathcal{N}_{\mathbb{C}}) $ 下，测试函数空间 $ (\mathcal{N})^1 $ 保持不变，表明其结构与 $ \alpha $ 无关，具有普遍性。
• 分布空间 $ (\mathcal{N})_{\mu}^{-1} $ 同样不依赖于 $ \alpha $，意味着广义函数的空间在不同 $ \alpha $ 选择下保持一致。
• 通过 $ S_{\mu} $-变换与微分算子，建立了类似于高斯分析的测试函数与广义函数的刻画定理。
• Wick 积及其对应的 Wick 微积自然扩展至广义框架，保持其代数与分析性质。
• 在泊松白噪声情形下，通过适当选择 $ \alpha $，可得到 Charlier 多项式正交系，验证了该框架与已知结果的一致性。
• 在从 $ \mu $ 到 $ \tilde{\mu} $ 的测度变换下，广义函数 $ \Phi $ 通过包含 $ P_m^{\mu,\alpha}(0) $ 与 $ M_l^{\tilde{\mu},\alpha} $ 的卷积型公式变换，提供了完整的重排规则。