[论文解读] Generalized Bombieri - Lagarias' theorem and generalized Li's criterion

S. K. Sekatskiǐ|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过在任意实数点 a ≠ 1/2 处引入涉及黎曼xi函数的一族和与导数，推广了李的准则与邦比耶-拉加里亚斯定理。证明了这些广义导数在 a < 1/2 时的非负性（或在 a > 1/2 时的非正性）等价于黎曼猜想，将原始准则从 z=1 扩展至更广范围。

ABSTRACT

We show that Li's criterion equivalent to the Riemann hypothesis, viz. the statement that the sums k_n=Sum_rho(1-(1-1/rho)^n) over Riemann xi-function zeroes as well as all derivatives lambda_n= (n-1)!^(-1)*d^n/dz^n(z^(n-1)*ln(xi(z))_(z=1)), where n=1, 2, 3..., should be non-negative if and only if the Riemann hypothesis holds true, can be generalized and the non-negativity of certain derivatives of the Riemann xi-function estimated at an arbitrary real point a, except a=1/2, can be used as a criterion equivalent to the Riemann hypothesis. Namely, we demonstrate that the sums k_n=Sum_rho(1-(1-((rho-a)/(rho+a-1))^n) for any real a not equal to 1/2 as well as the derivatives (n-1)!^(-1)*d^n/dz^n((z-a)^(n-1)*ln(xi(z))_(z=(1-a))), n=1, 2, 3... for any a&lt;1/2 are non-negative if and only if the Riemann hypothesis holds true (correspondingly, the same derivatives when a&gt;1/2 should be non-positive for this). Similarly to Li's one, the theorem of Bombieri and Lagarias applied to certain multisets of complex numbers, is also generalized along the same lines.The results presented here are now available as a paper in Ukrainian Math. J., 64, 371-383, 2014.

研究动机与目标

• 将李的准则（将某些关于非平凡Zeta函数零点的和的非负性与黎曼猜想联系起来）推广至任意实数点 a ≠ 1/2。
• 将邦比耶-拉加里亚斯关于复数集合多重集的定理推广至黎曼xi函数及任意平移参数 a 的情形。
• 确立xi函数在 z = 1−a 处特定导数的符号，可决定黎曼猜想的真假：当 a < 1/2 时为非负，当 a > 1/2 时为非正。
• 通过引入以实数 a ≠ 1/2 为参数的连续广义条件族，统一并推广现有的黎曼猜想等价条件。

提出的方法

• 定义广义和 k_n(a) = ∑_ρ [1 − (1 − (ρ−a)/(ρ+a−1))^n]，其中 ρ 跑遍黎曼Zeta函数的非平凡零点，a 为实数且 a ≠ 1/2。
• 引入广义导数 λ_n(a) = (n−1)!^−1 × d^n/dz^n [(z−a)^{n−1} ln ξ(z)]，在 z = 1−a 处取值，n = 1,2,3,…
• 证明当 a < 1/2 时，对所有 n ≥ 1，λ_n(a) 的非负性等价于黎曼猜想。
• 当 a > 1/2 时，证明对所有 n ≥ 1，λ_n(a) 的非正性等价于黎曼猜想。
• 利用黎曼xi函数的性质与解析延拓，将广义准则的有效域加以拓展。
• 应用复分析与谱论的技术，将导数的符号与非平凡零点的位置联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 李的黎曼猜想准则能否从 z=1 推广至任意实参数 a ≠ 1/2？
• RQ2 是否存在一组基于xi函数在 z = 1−a 处导数的等价条件族，用于描述黎曼猜想？
• RQ3 广义导数 λ_n(a) 的符号如何随参数 a 的不同而影响黎曼猜想的真假？
• RQ4 邦比耶-拉加里亚斯定理能否推广至由xi函数零点平移后形成的多重集，且适用于任意实数 a ≠ 1/2？
• RQ5 广义和 k_n(a) 的精确条件是什么，可用来刻画 a ≠ 1/2 时的黎曼猜想？

主要发现

• 对任意实数 a < 1/2，黎曼猜想成立当且仅当对所有 n ≥ 1，广义导数 λ_n(a) 非负。
• 对任意实数 a > 1/2，黎曼猜想成立当且仅当对所有 n ≥ 1，广义导数 λ_n(a) 非正。
• 定义为 ∑_ρ [1 − (1 − (ρ−a)/(ρ+a−1))^n] 的广义和 k_n(a) 对所有 n ≥ 1 非负，当且仅当黎曼猜想成立。
• 广义导数符号与黎曼猜想的等价性对所有实数 a ≠ 1/2 成立，从而提供了一族连续的等价准则。
• 结果推广了李的准则与邦比耶-拉加里亚斯定理，将它们的适用范围扩展至任意实数平移参数 a ≠ 1/2。
• 本文确立了临界线 ℜ(s) = 1/2 可通过这些广义不变量的符号行为来刻画，为研究Zeta函数零点提供了新的分析工具。