[论文解读] Generalized BSDE With 2-Reflecting Barriers and Stochastic Quadratic Growth

El Hassan Essaky, M. Hassani|arXiv (Cornell University)|May 19, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文在弱假设下建立了带两个反射屏障的一维广义倒向随机微分方程（GRBSDE）最大解的存在性：驱动项 f 在 y 上具有一般增长，在 z 上具有随机二次增长，终端条件仅为可测。通过指数变换与截断技术，作者在不假设 P-可积性或 Mokobodski 条件的前提下证明了解的存在性，将结果推广至连续时间 Dynkin 博弈与美式博弈期权等更广泛的应用场景。

ABSTRACT

We study the existence of a solution for a one-dimensional generalized backward stochastic differential equation with two reflecting barriers (GRBSDE for short) under assumptions on the input data which are weaker than that on the current literature. In particular, we construct a maximal solution for such a GRBSDE when the terminal condition ξis only F_T-measurable and the driver f is continuous with general growth with respect to the variable y and stochastic quadratic growth with respect to the variable z without assuming any P-integrability conditions. The work is suggested by the interest the results might have in Dynkin game problem and American game option.

研究动机与目标

• 在先前文献的假设基础上，建立带两个反射屏障的广义倒向随机微分方程（GRBSDE）解的存在性。
• 放宽对驱动项 f 的标准要求，允许其在 y 上具有一般增长，在 z 上具有随机二次增长，且不假设输入数据的 P-可积性。
• 消除对屏障 L 和 U 的 Mokobodski 条件的依赖，代之以更弱的假设：在 L 和 U 之间存在一个半鞅。
• 将 GRBSDE 的适用性扩展至随机控制与博弈论金融领域，特别是 Dynkin 博弈与美式博弈期权。
• 在一般条件下建立比较定理，支持解的唯一性与有序性。

提出的方法

• 应用指数变换，将原始 GRBSDE 转化为具有更易处理系数的辅助 GRBSDE。
• 通过截断与逼近技术，在弱可积性与增长条件下构造辅助 GRBSDE 的解。
• 通过细致的路径与概率论证，建立原始 GRBSDE 与变换后 GRBSDE 解之间的等价性。
• 在一般假设下建立 GRBSDE 的比较定理，涉及半鞅屏障与系数主导性。
• 利用 Girsanov 变换与指数鞅技术处理 z 上的随机二次增长。
• 利用解过程 Y 必须始终位于下屏障 L 与上屏障 U 之间的事实，通过奇异局部时测度 K⁺ 与 K⁻ 实现反射。

实验结果

研究问题

• RQ1 当驱动项 f 在 y 上具有一般增长，在 z 上具有随机二次增长，且不假设 P-可积性时，双反射 GRBSDE 是否存在解？
• RQ2 是否可以将屏障 L 和 U 上的 Mokobodski 条件替换为更弱的假设：在 L 与 U 之间存在一个半鞅？
• RQ3 当终端条件 ξ 仅为 F_T-可测而非平方可积时，最大解的存在性是否仍然成立？
• RQ4 在一般增长条件下，且驱动项不满足 Lipschitz 连续性时，是否可建立 GRBSDE 的比较定理？
• RQ5 当驱动项 f 关于 (y,z) 连续但非一致 Lipschitz 时，解应如何构造？

主要发现

• 当驱动项 f 在 y 上具有一般增长，在 z 上具有随机二次增长时，GRBSDE 在两个反射屏障下存在最大解，且无需对输入数据施加任何 P-可积性要求。
• 该存在性结果在更弱的假设下成立：即在屏障 L 与 U 之间存在一个半鞅，从而取代了对 Mokobodski 条件的需求。
• 解通过指数变换构造，该变换将原始 GRBSDE 映射为具有更规则系数的等价辅助 GRBSDE。
• 该方法依赖于对驱动项与屏障的截断与逼近，随后通过紧性与收敛性论证完成极限过程。
• 在一般假设下建立了比较定理，表明若输入满足主导性条件，则对应的解也以相同顺序几乎必然成立。
• 解满足对所有 t ∈ [0,T] 有 Y_t ∈ [L_t, U_t]，且通过局部时测度 K⁺ 与 K⁻ 确保在屏障处的反射。