[论文解读] Generalized BSDE With 2-Reflecting Barriers and Stochastic Quadratic Growth. Application to Dynkin Games

El Hassan Essaky, M. Hassani+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 2

一句话总结

本文在弱假设下建立了带两个反射屏障的一维广义倒向随机微分方程（GBSDEs）的最大解的存在性：终端条件仅为 FT-可测，且驱动项在 y 上具有一般增长，在 z 上具有随机二次增长，无需满足 P-可积性。证明依赖于比较定理、指数测度变换和逼近技术，并应用于Dynkin博弈与美式博弈期权，证明在更弱条件下存在鞍点。

ABSTRACT

In this paper we study the existence of a solution for one-dimensional generalized backward stochastic differential equation (GBSDE for short) with two reflecting barriers under weak assump- tions on the coefficients. In particular, we construct a maximal solution for such a GBSDE when the terminal conditionis only FT measurable and the driver f is continuous with general growth with respect to the variable y and stochastic quadratic growth with respect to the variable z without assuming any P integrability conditions. The proof of our main result is based on a comparison theorem, an exponential change and an approximation technique. Finally, we give applications of our result to the Dynkin game problem as well as to the American game option. We prove the existence of a saddle-point for this game under weaker conditions in a general setting.

研究动机与目标

• 在系数的假设尽可能弱的条件下，建立具有两个反射屏障的广义倒向 stochastic 微分方程（GBSDEs）解的存在性。
• 放松对驱动项 f 的标准可积性条件，特别是消除对 z 变量的 P-可积性要求。
• 将带反射的 BSDE 理论扩展至 y 上具有一般增长、z 上具有随机二次增长的情形。
• 将理论结果应用于 Dynkin 博弈问题与美式博弈期权，证明在比以往更弱的条件下存在鞍点。

提出的方法

• 利用比较定理控制解并确保逼近过程中的有序性。
• 应用指数测度变换以处理 y 变量的一般增长并稳定驱动项。
• 通过截断与正则化实施逼近技术，构造收敛于最大解的解序列。
• 构造具有有界驱动项与屏障的 GBSDE 序列，然后通过紧性与收敛性论证取极限。
• 采用弱收敛技术与一致估计，确保极限满足原始的具有两个反射屏障的 GBSDE。
• 利用驱动项在 z 上的随机二次增长结构，控制 Itô 积分项而无需可积性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当驱动项 f 在 y 上具有一般增长、在 z 上具有随机二次增长且不满足 P-可积性时，一维 GBSDE 在具有两个反射屏障的情况下是否存在解？
• RQ2 当终端条件仅为 FT-可测而非有界或平方可积时，是否可以构造出最大解？
• RQ3 如何调整比较定理以处理两个反射屏障与具有一般增长的非线性驱动项之间的相互作用？
• RQ4 在比以往更弱的假设下，什么条件能确保 Dynkin 博弈中鞍点的存在性？
• RQ5 所提出的方法能否推广至证明在一般概率空间下美式博弈期权解的存在性？

主要发现

• 在弱假设下，包括终端条件仅为 FT-可测，GBSDE 具有两个反射屏障时最大解存在。
• 驱动项 f 允许在 y 上具有一般增长，在 z 上具有随机二次增长，且无需任何 P-可积性条件。
• 解通过结合逼近方案、指数测度变换与比较定理构造而成。
• 在更弱条件下，证明了在一般设定下 Dynkin 博弈问题存在鞍点。
• 该方法适用于美式博弈期权，确立了该情境下纳什均衡的存在性。