[论文解读] Generalized Calabi-Gray Geometry and Heterotic Superstrings

Teng Fei|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Geometry and complex manifolds被引用 7

一句话总结

本文研究了在广义Calabi-Gray流形上Hull-Strominger系统的解，这类流形是具有全纯平凡canonical丛的非凯勒复流形。本文建立了该流形上异常流的短时存在性与长时间行为，表明在适当初始条件下，解收敛到极限度量，并且超凯勒纤维坍缩为黎曼曲面基底。

ABSTRACT

We give an expository about compactification of heteorotic superstrings with torsion on generalized Calabi-Gray manifolds.

研究动机与目标

• 研究广义Calabi-Gray流形上Hull-Strominger系统的存在性与行为，这类流形是异位超弦理论的非凯勒紧化空间。
• 将异常流——一种推广凯勒-Ricci流的抛物型流——作为在非凯勒情形下构造Hull-Strominger系统解的工具进行分析。
• 理解广义Calabi-Gray流形在异常流作用下的几何演化，特别是超凯勒纤维坍缩为黎曼曲面基底的过程。
• 确定异常流表现出长时间存在性、一致抛物性以及曲率与挠率项指数衰减的条件。
• 探讨“半球条件”作为解存在性潜在障碍的作用，特别是在中等初始数据区域的情形。

提出的方法

• 通过保持广义Calabi-Gray结构的假设，将Hull-Strominger系统约化为在黎曼曲面Σ上的低维演化问题。
• 将异常流方程表示为 ∂t(e^f) = Δ(e^f + ½α′κe^{−f}) − 2κ(e^f + ½α′κe^{−f})，当 α′ > 0 且 κ ≤ 0 时为一致抛物型。
• 应用维数约化方法，以雅可比算子 Δ − 2κ 的第一特征值来估计 e^f 的增长速率。
• 通过共形变换 ω̃ = ‖Ω‖^{1/2}_ω · ω，将共形平衡条件 d(ω̃²) = 0 重述为流形 X 上存在平衡度量的条件。
• 应用Li-Yau的Gauduchon版本的Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理，表明全纯向量丛的Hermitian Yang-Mills方程 (1) 可解当且仅当丛 E 关于平衡度量 ω̃ 是多项稳定的。
• 通过上同调约束分析异常项抵消方程 (2)，特别是当 c₁(E) = 0 时，有 c₂(E) = c₂(X)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义Calabi-Gray流形上，异常流在何种条件下具有长时间存在性？
• RQ2 当 e^f 的初始数据有正下界时，异常流的行为如何？
• RQ3 异常流是否可能在有限时间内形成奇点？若然，其几何条件为何，特别是关于初始黎曼曲面面积的条件？
• RQ4 “半球条件”在阻碍解存在性方面起何作用？奇点之后流应如何延续？
• RQ5 异常流在多大程度上保持曲率与挠率的有界性？是否导致超凯勒纤维的Gromov-Hausdorff坍缩？

主要发现

• 由于在黎曼曲面Σ上约化流的一致抛物性，广义Calabi-Gray流形上的异常流具有短时存在性。
• 若初始 e^f 有正下界，则异常流全局存在，且为一致抛物型，e^f 以由 Δ − 2κ 的第一特征值决定的速率指数增长。
• 在长时间存在性条件下，曲率与挠率范数呈指数衰减，且条件 ‖α′Rm‖ ≪ 1 被保持并随时间衰减。
• 当 e^f 的 L¹ 范数足够小时，异常流在有限时间内形成奇点，表明小的初始面积导致坍缩行为。
• 异常流的几何极限是超凯勒纤维向黎曼曲面基底的Gromov-Hausdorff坍缩，度量收敛到由 Δ − 2κ 的第一特征函数决定的极限。
• 在长时间存在且 e^f 有界的条件下，经过适当归一化后，e^f 收敛到雅可比算子 Δ − 2κ 的第一特征函数。