[论文解读] Generalized (co)homology of the loop spaces of classical groups and the universal factorial Schur $P$- and $Q$-functions

Masaki Nakagawa, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 54被引用 7

一句话总结

本文通过经典群的循环空间的广义（上）同调，利用对称函数与Lazard环形式群律，建立了通用阶乘Schur P-和Q-函数的拓扑实现。它引入了Ivanov与Ikeda-Naruse阶乘Schur函数的通用类比，证明其在L-上对称性质下构成形式基，并通过通用Cauchy恒等式构造对偶函数，揭示了广义同调理论中的Hopf代数对偶性。

ABSTRACT

In this paper, we study the generalized (co)homology Hopf algebras of the loop spaces on the infinite classical groups, generalizing the work due to Kono-Kozima and Clarke. We shall give a description of these Hopf algebras in terms of symmetric functions. Based on topological considerations in the first half of this paper, we then introduce a universal analogue of the factorial Schur $P$- and $Q$-functions due to Ivanov and Ikeda-Naruse. We investigate various properties of these functions such as the cancellation property, which we call the $\mathbb{L}$-supersymmetric property, the factorization property, and the vanishing property. We prove that the universal analogue of the Schur $P$-functions form a formal basis for the ring of functions with the $\mathbb{L}$-supersymmetric property. By using the universal analogue of the Cauchy identity, we then define the dual universal Schur $P$- and $Q$-functions. We describe the duality of these functions in terms of Hopf algebras.

研究动机与目标

• 以对称函数描述无限经典群（Sp, SO, SU）的循环空间的广义（上）同调Hopf代数。
• 在Lazard环上引入阶乘Schur P-和Q-函数的通用类比，推广Ivanov与Ikeda-Naruse的构造。
• 为通用函数建立基础性质——L-上对称性、分解性、消去性与稳定性。
• 证明在L-上对称性条件下，通用Schur P-函数构成对称函数环中的形式基。
• 通过通用Cauchy恒等式定义通用Schur P-和Q-函数的对偶函数，并描述其Hopf代数对偶性。

提出的方法

• 利用广义（上）同调理论与Bott周期性，将Sp、SO与SU的循环空间同调/上同调与对称函数环联系起来。
• 在Lazard环L上，以形式群律参数b构造通用阶乘Schur函数P_L^λ(x|b)与Q_L^λ(x|b)。
• 将L-上对称性定义为形式群律上的消去条件，推广对称函数中的上对称性。
• 应用通用Cauchy恒等式定义对偶函数bp_L^λ(y)与bq_L^λ(y)，建立通用P-与Q-函数之间的对偶性。
• 利用Weyl群在严格分拆与移位Young图上的作用，描述反演集与Euler类特殊化。
• 采用类型B∞、C∞与D∞的代数局部化映射，将通用函数与上同调中的经典Schur函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用对称函数描述经典群循环空间的广义（上）同调？
• RQ2 在Lazard环与形式群律的背景下，哪些通用性质刻画了阶乘Schur P-与Q-函数？
• RQ3 通用类比的Schur P-函数是否在L-上对称条件下构成对称函数环中的形式基？
• RQ4 通用Schur P-与Q-函数如何通过通用Cauchy恒等式与它们的对偶函数相关联？
• RQ5 在循环空间上同调的背景下，Euler类特殊化∏_{α∈Inv(λ)} e(−α)的拓扑与代数意义是什么？

主要发现

• ΩSp与Ω₀SO的E-同调与E-上同调分别同构于Lazard环上的Schur P-与Q-函数环。
• 通用阶乘Schur P-函数P_L^λ(x|b)满足L-上对称性，该性质推广了上对称函数中的消去行为。
• 如定理4.7所示，在L-上对称性条件下，通用Schur P-函数构成对称函数环中的形式基。
• 为Q_L^λ(x|b)建立了分解公式，将其表达为形式群律中基于内容的项的乘积。
• 对偶通用函数bp_L^λ(y)与bq_L^λ(y)通过通用Cauchy恒等式定义，其Hopf代数结构被证明与通用P-与Q-函数的结构对偶。
• Euler类的特殊化∏_{α∈Inv(λ)} e(−α)等于通用阶乘Schur Q-函数Q_L^λ(b_λ|b)，如公式(55)所示。