[论文解读] Generalized complex geometry

Marco Gualtieri|ArXiv.org|Jan 18, 2004

Mathematics and Applications被引用 141

一句话总结

本文引入广义复几何作为统一复几何与辛几何的框架，通过 $T \oplus T^*$ 上的 Courant 李括号以及通过纯旋量定义的广义复结构。一个关键结果是广义 Darboux 定理的证明，以及广义 Kähler 几何与双 Hermitian 几何的等价性，该结果在 4 维中解决了开放问题，表明 $\mathbb{C}P^2$ 具备一个具有两个正交复结构且方向相同的度量。

ABSTRACT

Generalized complex geometry, as developed by Hitchin, contains complex and symplectic geometry as its extremal special cases. In this thesis, we explore novel phenomena exhibited by this geometry, such as the natural action of a B-field. We provide new examples, including some on manifolds admitting no known complex or symplectic structure. We prove a generalized Darboux theorem which yields a local normal form for the geometry. We show that there is an elliptic deformation theory and establish the existence of a Kuranishi moduli space. We then define the concept of a generalized Kahler manifold. We prove that generalized Kahler geometry is equivalent to a bi-Hermitian geometry with torsion first discovered by physicists. We then use this result to solve an outstanding problem in 4-dimensional bi-Hermitian geometry: we prove that there exists a Riemannian metric on the complex projective plane which admits exactly two distinct Hermitian complex structures with equal orientation. Finally, we introduce the concept of generalized complex submanifold, and show that such sub-objects correspond to D-branes in the topological A- and B-models of string theory.

研究动机与目标

• 通过将几何结构扩展到直和丛 $T \oplus T^*$，在单一框架下统一复几何与辛几何。
• 利用 Courant 李括号与纯旋量定义并研究广义复结构，推广经典可积性条件。
• 建立广义复结构的形变理论，并构造一个 Kuranishi 型模空间。
• 定义广义 Kähler 几何并证明其与双 Hermitian 几何的等价性，解决 4 维中的一个开放问题。
• 引入广义复子流形，并将其与 D-膜关联，通过对应空间提出一个广义镜像对称框架。

提出的方法

• 使用 $T \oplus T^*$ 上截面的 Courant 李括号来定义广义复结构的可积性条件。
• 通过 $\wedge^\bullet T^*$ 中的纯旋量表示广义复结构，使得 $\mathcal{J}$ 的 $+i$-特征丛关于 Courant 李括号是卷曲不变的。
• 证明广义 Darboux 定理，确立广义复结构的局部标准形。
• 构造形变复形并证明形变定理，表明存在一个 Kuranishi 型模空间。
• 通过两个可交换的广义复结构定义广义 Kähler 结构，并利用 Bismut 联络将之与双 Hermitian 几何关联。
• 通过横截广义切丛定义广义复子流形，并为镜像对称定义一个类 Fourier-Mukai 的变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过丛 $T \oplus T^*$ 在单一几何框架下统一复几何与辛几何？
• RQ2 广义复几何的局部结构是什么？广义 Darboux 定理是否成立？
• RQ3 能否为广义复结构发展出良好的形变理论，且是否存在一个 Kuranishi 型模空间？
• RQ4 广义 Kähler 流形是否存在几何表征，其与双 Hermitian 几何的关系如何？
• RQ5 能否定义广义复子流形以匹配 D-膜的物理预测，且该框架如何支持镜像对称？

主要发现

• 广义 Darboux 定理确立了广义复结构的局部标准形，类似于辛几何中的 Darboux 定理。
• 广义复结构的形变理论表现良好，并允许存在一个 Kuranishi 型模空间，证明了形式形变理论的存在性。
• 广义 Kähler 几何与具有挠率的双 Hermitian 几何等价，这与物理学家在超对称 sigma 模型中的定义一致。
• 本文通过证明 $\mathbb{C}P^2$ 具备一个具有两个不同正交复结构且方向相同的黎曼度量，解决了 4 维几何中的一个开放问题。
• 广义复子流形通过横截广义切丛定义，并在复与辛情形下精确对应于 D-膜。
• 提出一个使用对应空间 $\mathcal{M} \subset M_A \times M_B$ 的广义镜像对称框架，该空间具有平凡化 gerbe，变换为 $\mathcal{F} = (\pi_A)_* \circ e^F \circ (\pi_B|_\mathcal{M})^*$，推广了 T-对偶性与 Fourier-Mukai 变换。