[论文解读] Generalized cosine transforms and classes of star bodies

Boris Rubin|ArXiv.org|Feb 24, 2006

Point processes and geometric inequalities参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义余弦变换框架，以统一并推广凸几何中的交集体类别。通过推导球面Radon变换与余弦变换的新分解公式，该研究刻画了一个更广泛的原点对称星体类 $\mathcal{K}_{\alpha,n}$，表明已知的交集体类别是其子类，并将其应用于Busemann-Petty问题和 $L_p$-嵌入刻画。

ABSTRACT

The spherical Radon transform on the unit sphere can be regarded as a member of the analytic family of suitably normalized generalized cosine transforms. We derive new formulas for these transforms and apply them to study classes of intersections bodies in convex geometry.

研究动机与目标

• 使用解析族的广义余弦变换，统一并推广凸几何中已知的交集体类别。
• 建立一个更广泛的原点对称星体类 $\mathcal{K}_{\alpha,n}$，其由广义余弦变换刻画。
• 利用球面Radon变换与余弦变换的新分解公式，为凸几何中的已知结果提供替代证明。
• 将球面上的调和分析与星体的几何性质联系起来，特别是与 $L_p$-嵌入和投影体的关系。
• 通过变换理论而非傅里叶分析，解决关于 $i^*$-交集体与 $i$-交集体之间对偶性的开放问题。

提出的方法

• 将Minkowski-Funk变换分解为多个余维大于1的相互正交球面Radon变换的乘积。
• 引入一组适当归一化的广义余弦变换的解析族，其中 $p$-余弦变换为其特例。
• 在球面上应用交织算子恒等式，通过对偶性和测度论构造，将广义余弦变换与Radon变换关联。
• 利用对偶Radon变换 $R_i^*$ 及其伴随算子，定义 $i^*$-交集体，并将其与 $i$-交集体关联。
• 通过 $\nu^\perp$ 的测度对偶性，关联 $G_{n,i}$ 与 $G_{n,n-i}$ 上的测度，从而实现交集体对偶定理。
• 建立范数空间 $L_p$-嵌入与广义余弦变换表示之间的等价性，其中 $\alpha = -p$。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义余弦变换框架如何统一并扩展凸几何中现有的交集体类别？
• RQ2 $i^*$-交集体与 $i$-交集体之间的精确关系是什么？如何在不使用傅里叶分析的情况下刻画这种关系？
• RQ3 通过广义余弦变换定义的类 $\mathcal{K}_{\alpha,n}$ 是否可作为已知交集体类别的统一框架？
• RQ4 球面Radon变换的新分解公式在多大程度上揭示了积分几何中更深层次的结构对称性？
• RQ5 广义余弦变换与范数空间的 $L_p$-嵌入定理有何关联，特别是对于负的 $p$ 值？

主要发现

• Minkowski-Funk变换可分解为多个余维大于1的相互正交球面Radon变换的乘积，为Radon变换提供了新的结构洞见。
• 原点对称星体类 $\mathcal{K}_{\alpha,n}$ 通过广义余弦变换刻画，且 $K \in \mathcal{K}_{\alpha,n}$ 当且仅当 $\rho_K^{-\alpha}$ 可表示为正测度的广义余弦变换。
• 每个 $(n-i)^*$-交集体都是 $i$-交集体，反之，在测度表示条件下，每个 $i$-交集体也是 $(n-i)^*$-交集体，从而确立了对偶性结果。
• $p$-余弦变换表示 $||\theta||_K^p = \int_{S^{n-1}} |\theta \cdot u|^p d\mu(u)$ 刻画了 $({\mathbb{R}}^n, \|\cdot\|_K)$ 的 $L_p$-可嵌入性，其中 $\alpha = -p$ 将此结果推广至负的 $p$ 值。
• 通过变换分解与测度对偶性，证明了 $i^*$-交集体与 $i$-交集体之间的对偶性，避免了先前工作中使用的傅里叶变换技术。
• $\mathcal{K}_{\alpha,n}$ 类推广了已知的交集体类别，并为研究Busemann-Petty型问题和 $p$-中心体提供了一个统一框架。