[论文解读] Generalized covariation for Banach valued processes and Itô formula

Cristina Di Girolami, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过基于张量积的对偶框架，引入了巴拿赫空间值过程的广义协变与二次变差概念。该方法扩展了Metivier-Pellaumail与Dinculeanu的方法，定义了一类新的协变类型——记为�-协变，适用于窗口过程，并在对偶空间完全使用时恢复标准二次变差，从而使得更广泛的连续半鞅类过程可通过扩展的伊藤公式进行分析。

ABSTRACT

This paper concerns the notion of quadratic variation and covariation for Banach valued processes and related Ito formula. If X and Y take respectively values in Banach spaces B1 and B2 (denoted by (B1ˆ �B2) � ) andis a suitable subspace of the dual of the projective tensor product of B1 and B2 we define the so-called �-covariation of X and Y. If X = Y the �-covariation is called �-quadratic variation. The notion of �-quadratic variation is a natural generalization of the one introduced by Metivier-Pellaumail and Dinculeanu which is too restrictive for many applications. In particular, if � is the whole space (B1ˆ �B1) � then the �-quadratic variation coincides with the quadratic variation of a B1-valued semimartingale. We evaluate the �-covariation of various processes for several examples ofwith a particular attention to the case B1 = B2 = C(( �,0)) for some � > 0 and X and Y being window processes. If X is a real process, we call window process associated with X the C(( �,0))-valued process X := X(·) defined by Xt(y) = Xt+y, where y 2 ( �,0). (2010 Math Subject Classification: ) 60G05, 60G07, 60G22, 60䠰5, 60䠹9.

研究动机与目标

• 将巴拿赫空间值过程的二次变差与协变概念推广至超越Metivier-Pellaumail与Dinculeanu框架限制的更广范围。
• 通过巴拿赫空间B1与B2的项目张量积的对偶空间的合适子空间，定义一类新的协变类型，称为�-协变。
• 基于此广义协变框架，建立适用于巴拿赫空间值半鞅的伊藤公式。
• 当B1 = B2 = C((−T,0))时，分析窗口过程X, Y的�-协变。
• 展示该框架在具体随机过程中的适用性，特别是在无限维设置下的应用。

提出的方法

• 通过巴拿赫空间B1与B2的项目张量积的对偶空间的子空间�，定义两个巴拿赫空间值过程X与Y的�-协变。
• 利用�与项目张量积之间的对偶配对，定义广义括号过程，该过程推广了经典二次变差。
• 将该框架应用于窗口过程，其中X为实值过程，窗口过程定义为Xt(y) = Xt+y，y ∈ (−T,0)，取值于C((−T,0))。
• 建立条件，使得当�为项目张量积B1ˆ �B2的全对偶空间时，�-二次变差与B1-值半鞅的标准二次变差一致。
• 基于�-协变，推导巴拿赫空间值半鞅的伊藤公式，将经典伊藤公式推广至无限维情形。
• 评估特定示例中的�-协变，尤其关注C((−T,0))中连续与右连左极过程的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在现有框架限制之外，将二次变差的概念推广至巴拿赫空间值过程？
• RQ2 项目张量积的对偶空间在定义不同巴拿赫空间中过程的有意义协变中起什么作用？
• RQ3 当对偶空间被完全使用时，�-协变如何恢复经典二次变差？
• RQ4 当底层过程为实值时，�-协变在C((−T,0))中的窗口过程行为如何？
• RQ5 能否基于此广义协变框架，为巴拿赫空间值半鞅推导出伊藤公式？

主要发现

• 当�为项目张量积B1ˆ �B1的全对偶空间时，�-协变推广了巴拿赫空间值半鞅的经典二次变差。
• 对于取值于C((−T,0))的窗口过程，�-协变提供了一个在无限维空间中分析路径变差的可行框架。
• 当�为全对偶空间时，该框架恢复了标准二次变差，验证了与已知结果的一致性。
• 基于�-协变推导出的伊藤公式将经典随机微积分扩展至巴拿赫空间值过程，实现了无限维空间中的随机积分与微分。
• 该方法允许通过窗口过程构造，在非马氏与路径依赖设定下评估协变。
• 该方法适用于连续与不连续半鞅，显著扩展了巴拿赫空间中随机分析的适用范围。