[论文解读] Generalized Dehn Functions I

Chad Groft|ArXiv.org|Jan 15, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 9

一句话总结

本论文在满足三角化CLNR等条件的前提下，建立了从具有边界的紧致流形到有限CW复形或紧致Lipschitz邻域收缩的万有覆盖的映射的度量与胞射同伦填充问题之间的等价性。关键结果表明，对于 q ≥ 2 的广义Dehn函数是基本群的拟等距不变量，其值不依赖于所选的K(G,1)复形，且在复形之间的q连通映射下保持等价。

ABSTRACT

Let X be a finite CW complex or compact Lipschitz neighborhood retract with universal cover Z; let M be a compact orientable manifold of dimension at least 2 and nonempty boundary. We establish the existence of an isoperimetric profile for functions from M to Z, in the metric and cellular senses, and show that they are equivalent up to scaling factors when X is a triangulated CLNR (for example a triangulated Riemannian manifold). This seems to be most interesting when X is highly connected, but this is not required. We also show that two finite complexes X and Y have the same profiles up to scaling given the existence of a sufficiently connected map between them.

研究动机与目标

• 建立有限CW复形万有覆盖中q维填充问题的度量与胞射同伦填充轮廓之间的存在性与等价性。
• 证明对于 q ≥ 2 的广义Dehn函数是基本群的拟等距不变量，且不依赖于K(G,1)复形的选择。
• 通过将从具有边界的流形到万有覆盖的映射的填充体积推广，将经典Dehn函数概念拓展至高维。
• 证明有限复形之间的q连通映射诱导出等价的广义Dehn函数，最多相差缩放因子，从而推广了经典Dehn函数在拟等距下的等价性结果。

提出的方法

• 将q维Dehn函数 Φ_cell^X,M 定义为所有满足 Vol(ω) ≤ n 的可容许映射 ω: ∂M → X^(q) 的填充体积的上确界。
• 利用胞射同伦提升及同伦提升的体积界，当 (X,A) 为q连通时，比较X与A之间的填充体积。
• 通过在单体上由同伦与映射限制的最大体积导出的体积常数K与L，建立ω、ω′与ω′′的填充体积之间的链式不等式。
• 证明 Φ_cell^X,M ≲ Φ_cell^A,M 与 Φ_cell^A,M ≲ Φ_cell^X,M，从而在缩放下实现拟等价。
• 通过在紧致流形上使用黎曼或分段黎曼结构，将结果应用于度量设定，证明度量轮廓与胞射轮廓的等价性。
• 利用三角化CLNR（如黎曼流形）允许在缩放因子下实现度量与胞射等周轮廓等价的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限CW复形的万有覆盖中，q维填充问题的度量轮廓与胞射轮廓是否等价？
• RQ2 对于 q ≥ 2 的广义Dehn函数是否仅依赖于基本群，且在拟等价意义下成立？
• RQ3 在两个有限复形之间存在q连通映射时，需满足何种条件才能保证其广义Dehn函数等价？
• RQ4 万有覆盖的大尺度几何是否可完全通过广义Dehn函数由基本群刻画？

主要发现

• 当基空间为三角化CLNR（如黎曼流形）时，对于 q ≥ 2，度量轮廓与胞射轮廓在缩放因子下等价。
• 对于任意两个具有q连通映射的有限复形X与Y，其广义Dehn函数是拟等价的，即 Φ_cell^X,M ≲ Φ_cell^Y,M 且反之亦然。
• q维Dehn函数在拟等价意义下不依赖于K(G,1)复形的选择，推广了q=2时的经典结果。
• 群G的广义Dehn函数等价于在紧致流形M的万有覆盖中填充(q−1)维球面或带边界的流形的等周函数，其中 π₁(M) = G。
• 证明中建立了 Φ_cell^X,M(n) ≤ Φ_cell^A,M(Ln) + Kn 与 Φ_cell^A,M(n) ≤ KΦ_cell^X,M(n)，从而在缩放下实现拟等价。
• 该结果证实了Gromov的猜想：在q连通性条件下，万有覆盖的大尺度几何仅通过广义Dehn函数依赖于基本群。