[论文解读] Generalized Delaunay Graphs with respect to any Convex Set are Plane Graphs

Deniz Sarıöz|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了：对于任意凸集 C，无论其有界或无界，基于 C 的平移（translates）或正向缩放平移（同位似形，homothets）所定义的广义Delaunay图，始终是平面图。关键结果表明，在仅要求 C 为凸集的单一条件下，两类图的平面性均成立，从而将此前需要紧致性或有界性的结果推广至任意凸集。

ABSTRACT

We consider two types of geometric graphs on point sets on the plane based on a plane set C: one obtained by translates of C, another by positively scaled translates (homothets) of C. For compact and convex C, graphs defined by scaled translates of C, i.e., Delaunay graphs based on C, are known to be plane graphs. We show that as long as C is convex, both types of graphs are plane graphs.

研究动机与目标

• 建立基于凸集 C 的平移所定义的广义Delaunay图的平面性。
• 将此前要求 C 紧致且凸的Delaunay图平面性结果，推广至任意凸集（包括无界或非闭集）。
• 解决János Pach提出的一个关于此类图平面性的开放问题。
• 为基于平移与同位似形的广义Delaunay图提供统一的几何证明。

提出的方法

• 定义两类图：$ G_t(P,C) $ 基于 C 的平移，$ G_{st}(P,C) $ 基于 C 的正向缩放平移（同位似形）。
• 建立与两相交凸集之间平移向量对齐的坐标系，通过 x 坐标比较位置关系。
• 利用凸性证明：若一点位于 $ C_1 \setminus C_2 $ 中，另一点位于 $ C_2 $ 中，则前者必在后者 x 方向的左侧。
• 证明：$ C_1 \setminus C_2 $ 中的任一点不可能位于 $ C_2 $ 中某线段的左侧，从而防止边交叉。
• 通过切换至以缩放中心为原点的极坐标系，将证明推广至同位似形缩放情形，使用径向距离 $ r $ 与角度 $ \theta $。
• 重新定义顺序关系 $<$：在相同 $ \theta $ 下比较径向距离，并再次应用基于凸性的矛盾论证，以排除边交叉。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于凸集 C 的平移所定义的广义Delaunay图是否始终为平面图，即使 C 无界或非闭？
• RQ2 广义Delaunay图的平面性是否可推广至凸集的同位似（缩放）平移情形，而无需要求紧致性？
• RQ3 标准的圆盘基Delaunay三角剖分证明方法能否通过几何与凸性论证推广至任意凸集？
• RQ4 当 C 为凸集但不紧致或非闭时，$ G_{st}(P,C) $ 中的边是否可能发生交叉？

主要发现

• 对于任意有限点集 $ P $，当 C 为凸集时，广义Delaunay图 $ G_t(P,C) $ 均为平面图。
• 同理，基于同位似平移的图 $ G_{st}(P,C) $ 在相同凸性条件下也保持为平面图。
• 证明依赖于基于坐标比较（x 坐标或径向距离）与凸性的几何排序论证，以防止边交叉。
• 即使 C 无界或非闭，该结果依然成立，从而扩展了此前要求紧致性的结果。
• 关键洞见在于：凸性确保 $ C_1 \setminus C_2 $ 中的点不可能位于 $ C_2 $ 中某线段的‘内侧’，从而阻断边交叉。
• 该论证从标准圆盘基Delaunay情形推广至任意凸集，统一了所有凸距离函数下的平面性结果。