[论文解读] Generalized Derivations of n-BiHom-Lie algebras

Amine Ben Abdeljelil, Mohamed Elhamdadi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文引入并研究了 $n$-BiHom-Lie 代数中的广义导子、$(\alpha^s,\beta^r)$-导子以及拟导子，其中 $n$-BiHom-Lie 代数是通过两个代数同态 $\alpha$ 和 $\beta$ 扭曲的 $n$-Lie 代数的一般化。本文建立了 $n$-BiHom-Lie 代数的 $(\alpha^s,\beta^r)$-导子扩展为诱导的 $(n+1)$-BiHom-Lie 代数的导子的条件，为高阶数 Hom 型代数中的导子理论提供了系统性的框架。

ABSTRACT

We investigate generalized derivations of $n$-BiHom-Lie algebras. We introduce and study properties of derivations, $( α^{s},β^{r}) $-derivations and generalized derivations. We also study quasiderivations of $n$-BiHom-Lie algebras. Generalized derivations of $(n+1)$-BiHom-Lie algebras induced by $ n $-BiHom-Lie algebras are also considered.

研究动机与目标

• 将导子理论推广至 $n$-BiHom-Lie 代数，即由两个交换的代数同态 $\alpha$ 和 $\beta$ 扭曲的 $n$-元代数。
• 在 $n$-BiHom-Lie 代数的背景下，定义并分析 $(\alpha^s,\beta^r)$-导子与广义导子。
• 研究 $n$-BiHom-Lie 代数中拟导子及其结构性质。
• 研究通过扭曲映射从 $n$-BiHom-Lie 代数到诱导的 $(n+1)$-BiHom-Lie 代数的导子结构的继承性。
• 提供 $n$-BiHom-Lie 代数的 $(\alpha^s,\beta^r)$-导子成为诱导的 $(n+1)$-BiHom-Lie 代数的导子的充分条件。

提出的方法

• 本文将 $n$-BiHom-Lie 代数定义为配备 $n$-线性括号和两个交换的线性映射 $\alpha$ 与 $\beta$ 的向量空间，满足扭曲的反对称性与广义雅可比恒等式。
• 引入 $(\alpha^s,\beta^r)$-导子作为满足如下等式的线性映射 $D$：$ D[x_1,\dots,x_n] = \sum_{i=1}^n \tau(D(x_i)) \cdot \alpha^s\beta^r[x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_n] $，其中 $\tau$ 为类迹泛函。
• 广义导子被定义为满足关于 $n$-元括号的莱布尼茨型法则的线性映射，从而推广了经典导子的概念。
• 通过括号 $[x_1,\dots,x_n]_{\alpha\beta} = [\alpha(x_1),\dots,\alpha(x_{n-1}),\beta(x_n)]$，从 $n$-BiHom-Lie 代数构造诱导的 $(n+1)$-BiHom-Lie 代数。
• 推导出一个关键条件，涉及迹泛函 $\tau$ 与扭曲映射 $\alpha^s\beta^r$，即当 $\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \alpha^s\beta^r(\tau(D(x_i)) [x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_n]) = 0$ 成立时，$(\alpha^s,\beta^r)$-导子可扩展为诱导代数的导子。
• 对一个二维 BiHom-Lie 代数进行了理论分析与显式计算，以验证推导出的条件，并说明导子在扭曲下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$n$-BiHom-Lie 代数的 $(\alpha^s,\beta^r)$-导子可扩展为诱导的 $(n+1)$-BiHom-Lie 代数的导子？
• RQ2 广义导子与拟导子在 $n$-BiHom-Lie 代数中如何表现？它们满足哪些结构性质？
• RQ3 迹泛函 $\tau$ 在刻画导子中起什么作用？在诱导代数的背景下，它何时为平凡？
• RQ4 扭曲映射 $\alpha$ 与 $\beta$ 如何影响导子空间？其交换性与与括号的相容性带来了哪些约束？
• RQ5 原始 $n$-Lie 代数的导子与通过 $\alpha$ 和 $\beta$ 扭曲得到的 $n$-BiHom-Lie 代数的导子之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当对所有 $x_1,\dots,x_n \in \mathfrak{g}$，条件 $\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \alpha^s\beta^r(\tau(D(x_i)) [x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_n]) = 0$ 成立时，$n$-BiHom-Lie 代数的 $(\alpha^s,\beta^r)$-导子 $D$ 可扩展为诱导的 $(n+1)$-BiHom-Lie 代数的导子。
• 在二维例子中，当 $n=1$ 时，$(\alpha^s,\beta^r)$-导子为 $D(e_1) = ae_1$ 与 $D(e_2) = be_1 + (a - mb)e_2$；而当 $n \neq 1$ 时，其形式为 $D(e_1) = 0$ 与 $D(e_2) = a(e_1 + \frac{m}{n}e_2)$。
• 在二维例子中，满足 $\tau(\alpha(x))\beta(y) = \tau(\beta(x))\alpha(y)$ 的迹泛函 $\tau$ 恒为零，这意味着诱导的三元括号为平凡，所有线性映射均为导子。
• 本文建立：$n$-BiHom-Lie 代数的广义导子空间在换位子括号下封闭，从而构成一个李代数结构。
• 在所推导的条件下，诱导的 $(n+1)$-BiHom-Lie 代数继承了 $n$-BiHom-Lie 代数的导子结构，推广了从 $n$-Lie 到 $n$-BiHom-Lie 代数的已知结果。
• 该框架使得对高阶数 Hom 型代数中的导子理论进行系统研究成为可能，统一并扩展了先前关于 Hom-Lie 代数与 $n$-Lie 代数中导子的研究成果。