[论文解读] Generalized description of intermittency in turbulence via stochastic methods

Jan Friedrich, Rainer Grauer|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文通过Kramers-Moyal展开，将湍流间歇性的描述推广为随机过程，表明在马尔可夫过程假设下，所有主要的湍流现象学模型均可从速度增量统计的Kramers-Moyal展开中导出。关键发现是，间歇性的精确建模需要无穷多个Kramers-Moyal系数，因为Fokker-Planck方法中的截断会导致概率密度函数尾部行为的不准确。

ABSTRACT

We present a generalized picture of intermittency in turbulence that is based on the theory of stochastic processes. To this end, we rely on the experimentally and numerically verified finding by R.~Friedrich and J.~Peinke [Phys. Rev. Lett. 78, 863 (1997)] that allows for an interpretation of the turbulent energy cascade as a Markov process of the velocity increments in scale. It is explicitly shown that all known phenomenological models of turbulence can be reproduced by the Kramers-Moyal expansion of the velocity increment probability density function that is associated to a Markov process. We compare the different sets of Kramers-Moyal coefficients of each phenomenology and deduce that an accurate description of intermittency should take into account an infinite number of coefficients. This is demonstrated in more detail for the case of Burgers turbulence that exhibits the strongest intermittency effects. Moreover, the influence of nonlocality on the Kramers-Moyal coefficients is investigated by direct numerical simulations of a generalized Burgers equation. Depending on the balance between nonlinearity and nonlocality, we encounter different intermittency behaviour that ranges from self-similarity (purely nonlocal case) to intermittent behaviour (intermediate case that agrees with Yakhot's mean field theory [Phys. Rev. E 63 026307 (2001)]) to shock-like behaviour (purely nonlinear Burgers case).

研究动机与目标

• 基于不同尺度间速度增量的马尔可夫性质，建立统一的随机框架，以描述湍流间歇性。
• 证明已知的现象学模型（如K62、She-Leveque）可通过特定Kramers-Moyal系数的选择而导出。
• 表明截断Kramers-Moyal展开（Fokker-Planck方法中的常见做法）会导致对间歇性的不准确描述，尤其在PDF尾部表现不佳。
• 利用广义Burgers方程的直接数值模拟，研究非局域性和非线性在塑造Kramers-Moyal系数中的作用。
• 为将此随机方法扩展至完整的Navier-Stokes湍流提供基础。

提出的方法

• 将湍流动能级联建模为尺度上的马尔可夫过程，其中不同尺度的速度增量遵循由Kramers-Moyal展开所决定的随机转移过程。
• 使用Kramers-Moyal展开推导速度增量转移概率密度函数的Fokker-Planck型方程。
• 通过选择适当的Kramers-Moyal系数（特别是漂移项和扩散项），重现已知的现象学模型（如K62、Castaing、Yakhot）。
• 分析高阶Kramers-Moyal系数的渐近行为，以评估其在准确描述间歇性中的必要性。
• 对具有可调非线性和非局域性的广义Burgers方程进行直接数值模拟，以计算Kramers-Moyal系数，并研究其与系统参数的依赖关系。
• 利用Mellin变换和对数正态假设，推导转移PDF的解析解，并与现象学模型进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有已知的湍流现象学模型是否都能从基于Kramers-Moyal展开的单一随机框架中导出？
• RQ2 高阶Kramers-Moyal系数在准确描述速度增量PDF尾部方面起什么作用？
• RQ3 广义Burgers方程中非线性与非局域性的平衡如何影响Kramers-Moyal系数的结构及间歇性行为？
• RQ4 速度增量在惯性区的马尔可夫性质在多大程度上支持能量级联的随机描述？
• RQ5 Kramers-Moyal方法在多大程度上可被扩展以足够准确地描述Navier-Stokes湍流？

主要发现

• 所有已知的湍流现象学模型，包括K62、She-Leveque和Castaing，均可通过在Kramers-Moyal展开中选择适当的系数而重现。
• K62模型的Kramers-Moyal展开产生一个Fokker-Planck方程，其漂移系数和扩散系数分别为 $ a = \frac{1}{3} + \frac{\mu}{6} $ 和 $ b = \frac{\mu}{18} $，从而导致对数正态转移PDF。
• 由K62模型导出的转移概率密度函数在 $ r' = 1 $ 时与Yakhot的公式一致，并在大尺度下如预期还原为高斯分布。
• 通过引入与尺度相关的拟合函数 $ s_0(r) $ 和 $ \lambda(r) $，Castaing模型可被视作同一解的更一般形式。
• 广义Burgers方程的数值模拟表明，Kramers-Moyal系数随非线性与非局域性之间平衡的连续变化而变化，导致三种不同的间歇性区域：自相似（纯非局域）、间歇性（中间）和冲击型（纯非线性）。
• 分析结果确认，间歇性的精确建模需要非零的高阶Kramers-Moyal系数，这意味着Fokker-Planck近似（截断至二阶）不足以捕捉完整的统计行为。