[论文解读] Generalized Differential Geometry

Juriaans, O., S.+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Mathematical and Theoretical Analysis被引用 1

一句话总结

本文提出了一种广义微分几何框架，采用非阿基米德、超度量的广义实数环（eR），实现了牛顿微积分与分布微积分的自然延拓。该框架构建了广义流形，使奇点消失，非线性乘积被良好定义，且可通过支撑理论恢复经典解，最终形成一种广义时空模型，其中无穷大与无穷小微量共存，并引发非经典现象，如幽灵作用与网格依赖解。

ABSTRACT

Generalized Functions play a central role in the understanding of differential equations containing singularities and nonlinearities. Introducing infinitesimals and infinities to deal with these obstructions leads to controversies concerning the existence, rigor and the amount of non-standard analysis needed to understand these theories. Milieus constructed over the generalized reals sidestep them all. A Riemannian manifold M embeds discretely into a generalized manifold $M^*$ on which singularities vanish and products of nonlinearities make sense. Linking this to an already existing global theory provides an algebra embedding $κ:\hat{\cal{G}}(M)\longrightarrow {\cal{C}}^{\infty}(M^*,\widetilde{\mathbb{R}}_f)$. Generalized Space-Time is constructed and its possible effects on Classical Space-Time are examined.

研究动机与目标

• 本文旨在构建一个数学环境，使具有奇点与非线性的微分方程能够被一致求解。
• 旨在避免依赖非标准分析，转而使用具有优良代数与拓扑性质的广义实数环 eR。
• 目标包括将经典分布与黎曼流形嵌入广义结构中，以恢复经典解。
• 研究广义解与经典解之间的关系，通过支撑概念加以阐明。
• 旨在为广义变分法提供基础，并探讨广义时空的物理含义。

提出的方法

• 该构造始于广义实数 eR，其为一个部分有序、超度量、非阿基米德环，包含 R 作为等距点的离散网格。
• eR 作为 R 的扩张而构建，不含幂零元，可逆元为开集且稠密，并包含 (R, +) 的同构副本 αr，满足 αr·αs = αr+s。
• 通过将经典 C∞ 函数代数嵌入代数 C∞(M∗, eRf)，定义 eRn 上的函数，从而实现广义微积分。
• 可微性被定义为牛顿微积分的自然延拓，即使在分布如 δ(x) 和 xδ(x) 上也存在导数。
• 广义函数的支撑被引入，作为分布理论中“关联”概念的推广，从而实现经典解的恢复。
• 在完整广义环境 eRf 中证明了不动点定理，并通过经典流形的离散嵌入构造了广义黎曼流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种广义微积分，自然延拓牛顿微积分与施瓦茨分布微积分，同时处理无穷小微量与无穷大量？
• RQ2 在一种允许这些对象共存的框架中，如何一致求解具有奇点与非线性的经典微分方程？
• RQ3 支撑在从广义解恢复经典解的过程中起什么作用？
• RQ4 在该框架中，数值网格（由幂等元表示）的选择如何影响微分方程的数值解？
• RQ5 在广义时空中，无穷大与无穷小微量的共存会引发哪些物理现象，如非局域性或湍流？

主要发现

• 广义实数 eR 是一个部分有序、超度量、非阿基米德环，不含幂零元，可逆元为开集且稠密。
• 狄拉克函数在 eR 中成为可微函数，满足 δ(0) = α−1（无穷大），而 xδ(x) 成为一个非零可微函数，且 f(0) = 0。
• 初值问题 ut + uux = 0，u(0,x) = xα−1 的解为 u(t0α, x0α) = x0/(1 + t0) ∈ R，表明在离散点上可恢复经典解。
• 函数 w(t) = arctan(α−1t) 满足 w²(t0α²) ∈ halo(0)，但 (w²)'(t0α²) ∈ halo(2t0)，表明在无穷小微量时间内导数可为任意大。
• 数值解依赖于所用的网格-幂等元，仅当网格精细调校时才得到相同结果，表明广义解在其支撑中具有聚点。
• 广义时空将经典时空作为离散、有界、等距的网格包含在内，瞬时效应与混沌现象源于幂等元的交错与无穷大塌缩。