[论文解读] Generalized Drinfeld-Sokolov Hierarchies II: The Hamiltonian Structures

Nigel J. Burroughs, Mark F. de Groot+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 1991

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用 59

一句话总结

本文通过证明两个哈密顿结构均可实现为基灵-莫代代数上的基灵括号，从而确立了广义德里尼尔德-索科洛夫 KdV 层的双哈密顿结构，其中第二个结构生成了如 $W_n^{(l)}$ 的经典扩展共形代数，包括 $W_3^{(2)}$ 作为特例。部分修改层到 KdV 层的 Miura 映射被证明是哈密顿映射，将 KdV 情况推广至高阶李代数。

ABSTRACT

In this paper we examine the bi-Hamiltonian structure of the generalized KdV-hierarchies. We verify that both Hamiltonian structures take the form of Kirillov brackets on the Kac-Moody algebra, and that they define a coordinated system. Classical extended conformal algebras are obtained from the second Poisson bracket. In particular, we construct the $W_n^l$ algebras, first discussed for the case $n=3$ and $l=2$ by A. Polyakov and M. Bershadsky.

研究动机与目标

• 完成广义德里尼尔德-索科洛夫可积层的哈密顿形式化，这些层此前已构建但缺乏哈密顿分析。
• 验证广义 KdV 层的两个泊松结构是协调的，确保构成非平凡的双哈密顿系统。
• 证明第二个哈密顿结构实现了经典扩展共形代数（如 $W_n^{(l)}$），推广了 KdV 情况下的维拉索罗代数。
• 证明从部分修改的 KdV 层到 KdV 层的 Miura 映射是哈密顿映射，通过泊松结构连接修改层与标准层。

提出的方法

• 在层的相空间上提出两个泊松括号，将其作为具有中心扩张的基灵-莫代代代数 $\hat{g}$ 上的基灵括号实现。
• 验证两个括号的反对称性及雅可比恒等式，并通过单参数族 $\{\cdot,\cdot\} = \{\cdot,\cdot\}_1 + \mu\{\cdot,\cdot\}_2$ 证明其协调性，该族对任意 $\mu$ 构成泊松括号。
• 将第二个哈密顿结构构造为具有中心扩张的基灵-莫代代代数，证明其支持对维拉索罗生成元的 Sugawara 构造。
• 证明场 $f$ 在第二个哈密顿流下为常数，确保与代数结构的一致性。
• 证明从部分修改的 KdV 层到 KdV 层的 Miura 映射是哈密顿映射，保持泊松结构。
• 将形式化应用于示例，包括非扭基灵-莫代代代数、分数阶 KdV 层及 $W_n^{(l)}$ 代数，确认一般结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义德里尼尔德-索科洛夫 KdV 层是否具有双哈密顿结构，即两个协调的泊松括号？
• RQ2 这些层的第二个哈密顿结构是否实现经典扩展共形代数（如 $W_n^{(l)}$）？
• RQ3 从部分修改的 KdV 层到 KdV 层的 Miura 映射是否为哈密顿映射，是否保持泊松结构？
• RQ4 哈密顿流如何与第二个泊松结构中的基灵-莫代代代数及其中心扩张相关联？
• RQ5 场 $f$ 在第二个哈密顿结构中起什么作用，为何其在层流下为常数？

主要发现

• 广义 KdV 层的两个哈密顿结构均实现为基灵-莫代代代数 $\hat{g}$ 上的基灵括号，其中第二个结构包含中心扩张。
• 第二个泊松括号代数包含维拉索罗代数作为子代数，且更一般地，对 $1 \leq l \leq n-1$ 实现了经典 $W_n^{(l)}$ 代数，推广了 Polyakov 和 Bershadsky 发现的 $W_3^{(2)}$ 代数。
• 从部分修改的 KdV 层到 KdV 层的 Miura 映射是哈密顿映射，将前者的单哈密顿结构与后者的第二个哈密顿结构相连接。
• 场 $f$ 在第二个哈密顿流下为运动常数，尽管其不属于第二个泊松代数的中心，原因在于对所有哈密顿量 $H$ 有 $\{f(x), H\}_2 = 0$。
• 第二个哈密顿结构在任意共形变换下保持不变，反映了层方程的拟齐次性。
• 该形式化推广了 KdV 情况，其中第二个结构为维拉索罗代数，扩展至高阶李代数和扩展共形代数。