[论文解读] Generalized Dyson Brownian motion, McKean-Vlasov equation and eigenvalues of random matrices

Songzi Li, Xiang‐Dong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文在外部势 $V$ 下建立了广义Dyson布朗运动（GDBM）强解的存在性与唯一性，证明了特征值经验测度在 $N \to \infty$ 时弱收敛于McKean-Vlasov方程的解，并表明该解在Wasserstein空间上作为Voiculescu自由熵的梯度流演化。在 $V$ 的凸性或一致凸性条件下，该解以指数速率在 $W_2$-Wasserstein 距离下收敛至平衡测度 $\mu_V$。

ABSTRACT

Using Itô's calculus and the mass optimal transportation theory, we study the generalized Dyson Brownian motion (GDBM) and the associated McKean-Vlasov evolution equation with an external potential $V$. Under suitable condition on $V$, we prove the existence and uniqueness of strong solution to SDE for GDBM. Standard argument shows that the family of the process of empirical measures $L_N(t)$ of GDBM is tight and every accumulative point of $L_N(t)$ in the weak convergence topology is a weak solution of the associated McKean-Vlasov evolution equation, which can be realized as the gradient flow of the Voiculescu free entropy on the Wasserstein space over $\mathbb{R}$. Under the condition $V''\geq -K$ for some constant $K\geq 0$, we prove that the McKean-Vlasov equation has a unique solution $μ(t)$ and $L_N(t)$ converges weakly to $μ(t)$ as $N ightarrow \infty$. For $C^2$ convex potentials, we prove that $μ(t)$ converges to the equilibrium measure $μ_V$ with respect to the $W_2$-Wasserstein distance on $\mathscr{P}_2(\mathbb{R})$ as $t ightarrow \infty$. Under the uniform convexity or a modified uniform convexity condition on $V$, we prove that $μ(t)$ converges to $μ_V$ with respect to the $W_2$-Wasserstein distance on $\mathscr{P}_2(\mathbb{R})$ with an exponential rate as $t ightarrow \infty$. Finally, we discuss the double-well potentials and raise some conjectures.

研究动机与目标

• 在外部势 $V$ 下建立广义Dyson布朗运动（GDBM）强解的存在性与唯一性。
• 证明当 $N \to \infty$ 时，GDBM 的经验测度 $L_N(t)$ 弱收敛于McKean-Vlasov方程的解。
• 将McKean-Vlasov方程表征为Wasserstein空间 $\mathscr{P}_2(\mathbb{R})$ 上Voiculescu自由熵泛函 $\Sigma_V$ 的梯度流。
• 分析McKean-Vlasov解 $\mu(t)$ 的长期行为，特别是其收敛至平衡测度 $\mu_V$ 的性质。
• 研究非凸势（尤其是双阱势）下的收敛性，并提出关于收敛行为的开放猜想。

提出的方法

• 应用伊藤微积分推导带外部势 $V$ 的广义Dyson布朗运动的随机微分方程（SDE）。
• 利用质量最优传输理论，将McKean-Vlasov方程与Wasserstein空间 $\mathscr{P}_2(\mathbb{R})$ 上Voiculescu自由熵泛函 $\Sigma_V$ 的梯度流联系起来。
• 证明经验测度族 $L_N(t)$ 的紧性，并将弱极限识别为McKean-Vlasov方程的弱解。
• 在 $V'' \geq -K$（$K \geq 0$）条件下，证明McKean-Vlasov解 $\mu(t)$ 的唯一性。
• 使用 $W_2$-Wasserstein 距离量化在 $V$ 的凸性或改进的一致凸性条件下 $\mu(t)$ 收敛至平衡测度 $\mu_V$ 的过程。
• 分析双阱势 $V(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{c}{2}x^2$，并在 $c$ 的不同参数区间下推导出平衡密度 $\rho(x)$ 的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $V$ 的条件下，广义Dyson布朗运动存在唯一的强解？
• RQ2 当 $N \to \infty$ 时，GDBM 的经验测度 $L_N(t)$ 是否弱收敛于McKean-Vlasov方程的解？
• RQ3 McKean-Vlasov方程能否被解释为Wasserstein空间 $\mathscr{P}_2(\mathbb{R})$ 上Voiculescu自由熵的梯度流？
• RQ4 当 $t \to \infty$ 时，McKean-Vlasov方程的解 $\mu(t)$ 是否在 $W_2$-Wasserstein 距离下收敛至平衡测度 $\mu_V$？
• RQ5 对于非凸势（如双阱势）的情形，$\mu(t)$ 的长期行为如何？收敛至 $\mu_V$ 是否仍然成立？

主要发现

• 在 $V'' \geq -K$（$K \geq 0$）条件下，McKean-Vlasov方程存在唯一解 $\mu(t)$，且当 $N \to \infty$ 时，$L_N(t)$ 弱收敛于 $\mu(t)$。
• 对于 $C^2$ 凸势，解 $\mu(t)$ 在 $t \to \infty$ 时以 $W_2$-Wasserstein 距离收敛至平衡测度 $\mu_V$。
• 在 $V$ 的一致凸性或改进的一致凸性条件下，$\mu(t)$ 收敛至 $\mu_V$ 的过程在 $W_2$-Wasserstein 距离下具有指数收敛速率。
• 对于双阱势 $V(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{c}{2}x^2$，当 $c \in [-2, 0)$ 时，平衡测度 $\mu_V$ 具有唯一的紧支集，本文猜想 $\mu(t)$ 在 $W_2$-Wasserstein 距离下收敛至 $\mu_V$。
• 当 $c < -2$ 时，平衡测度 $\mu_V$ 具有两个不相交的支集，本文指出 $\mu(t)$ 不在 $W_2$-Wasserstein 距离下收敛至 $\mu_V$，表明在此参数区间收敛性发生破裂。
• 本文针对满足 $V'' \geq -K$ 且 $\Sigma_V$ 有唯一紧支集最小化子的 $C^2$ 势，提出了三个关于收敛性的猜想，推测即使在有界二阶导数下界条件下，$\mu(t)$ 仍可能在 $W_2$-Wasserstein 距离下收敛至 $\mu_V$。