[论文解读] Generalized Eigenvalue Complementarity Problem for Tensors

Zhongming Chen, Qingzhi Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 21被引用 17

一句话总结

本文引入了张量的广义特征值互补问题（GEiCP-T），建立了其理论基础，并针对对称情形提出了一个位移投影幂法。证明了存在性与唯一性条件，展示了可解性的NP难性，并通过数值验证表明算法具有单调收敛性。

ABSTRACT

In this paper, the generalized eigenvalue complementarity problem for tensors (GEiCP-T) is addressed, which arises from the stability analysis of finite dimensional mechanical systems and find applications in differential dynamical systems. The general properties of the (GEiCP-T) have been studied. We establish its relationship with the generalized tensor eigenvalue problem. It follows that if exist, the number of $λ$-solutions can be bounded. We also give some sufficient conditions for the existence of the solution. In particular, there exists a unique solution of the (EiCP-T) (i.e., $J=[n]$) for irreducible nonnegative tensors. For the symmetric case, we derive a sufficient and necessary condition for the solvability of the (GEiCP-T) by reformulating it as a nonlinear program. It has also been proved that deciding the solvability of the (EiCP-T) is NP-hard in general. Moreover, a shifted projected power method is proposed to solve the symmetric (GEiCP-T). The monotonic convergence is also established. The numerical experiments demonstrate convergence behavior of our method and show that the algorithm presented is promising.

研究动机与目标

• 研究在机械系统稳定性与微分动力系统中出现的张量广义特征值互补问题（GEiCP-T）。
• 建立GEiCP-T的理论性质，包括存在性、唯一性以及λ-解数量的界。
• 通过将问题重新表述为非线性规划问题，推导对称情形下可解性的充分必要条件。
• 提出并分析一种用于求解对称GEiCP-T的位移投影幂法，证明其具有单调收敛性。
• 通过数值实验展示算法的有效性，验证其收敛行为。

提出的方法

• 将对称GEiCP-T重新表述为非线性优化问题，以推导可解性的必要与充分条件。
• 提出一种专用于对称张量的位移投影幂法，结合投影与位移机制以增强收敛性。
• 通过分析迭代更新动态与下降性质，建立算法的单调收敛性。
• 利用GEiCP-T与广义张量特征值问题之间的关系，对λ-解的数量进行界定。
• 应用不可约非负张量的理论结果，证明在特定条件下存在唯一解。
• 通过数值实验验证所提方法的收敛性与性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量广义特征值互补问题（GEiCP-T）在何种条件下有解，且最多可存在多少个λ-解？
• RQ2 GEiCP-T与广义张量特征值问题之间有何关系，该关系如何用于界定解的数量？
• RQ3 EiCP-T（GEiCP-T的一个特例）的可解性在一般情况下是否为NP难问题，其含义是什么？
• RQ4 对称GEiCP-T的可解性有何充分必要条件，这些条件如何从非线性规划形式化中推导得出？
• RQ5 能否设计一种位移投影幂法来求解对称GEiCP-T并保证收敛性，其在数值上表现如何？

主要发现

• 基于GEiCP-T与广义张量特征值问题的关系，可对λ-解的数量进行界定。
• 当张量不可约且非负时，EiCP-T存在唯一解。
• 一般情况下，判断EiCP-T的可解性为NP难问题，表明其在任意实例下具有计算不可解性。
• 对于对称GEiCP-T，通过将其重述为非线性规划问题，推导出可解性的必要与充分条件。
• 所提出的位移投影幂法在对称GEiCP-T上表现出单调收敛性，确保了可靠迭代。
• 数值实验验证了收敛行为，并展示了该算法在实际计算中的潜力。