[论文解读] Generalized Euler, Smoluchowski and Schr\\"odinger equations admitting self-similar solutions with a Tsallis invariant profile

Pierre-Henri Chavanis|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2019

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 87被引用 14

一句话总结

本文通过引入一个依赖于 $q$ 的非线性动能项和一个依赖于 $\gamma$ 的幂律非线性项，推广了欧拉方程、斯莫卢奇夫斯基方程和薛定谔方程，从而实现了具有 Tsallis 不变量分布的自相似解。关键结果是：对于一个包含 $q$-依赖的冯·魏茨扎克项和 $\gamma$-依赖的 Tsallis 泛函的一般化自由能泛函，建立了 $H$-定理，标准量子力学与热力学理论在 $q=\gamma=1$ 时被恢复。当 $q=2\gamma-1$ 时，广义薛定谔方程存在精确的自相似解。该模型在非广延统计力学框架下统一了广义量子力学与广义热力学。

ABSTRACT

The damped isothermal Euler equations, the Smoluchowski equation and the damped logarithmic Schr\\"odinger equation with a harmonic potential admit stationary and self-similar solutions with a Gaussian profile. They satisfy an $H$-theorem for a free energy functional involving the von Weizs\\"acker functional and the Boltzmann functional. We derive generalized forms of these equations in order to obtain stationary and self-similar solutions with a Tsallis profile. In particular, we introduce a nonlinear Schr\\"odinger equation involving a generalized kinetic term characterized by an index $q$ and a power-law nonlinearity characterized by an index $\\gamma$. We derive an $H$-theorem satisfied by a generalized free energy functional involving a generalized von Weizs\\"acker functional (associated with $q$) and a Tsallis functional (associated with $\\gamma$). This leads to a notion of generalized quantum mechanics and generalized thermodynamics. When $q=2\\gamma-1$, our nonlinear Schr\\"odinger equation admits an exact self-similar solution with a Tsallis invariant profile. Standard quantum mechanics (Schr\\"odinger) and standard thermodynamics (Boltzmann) are recovered for $q=\\gamma=1$.

研究动机与目标

• 将标准流体动力学与量子方程推广，以容纳具有 Tsallis 不变量分布的自相似解，推广标准热力学与量子力学。
• 推导一个包含 $q$-依赖的一般化冯·魏茨扎克项和 $\gamma$-依赖的 Tsallis 泛函的一般化自由能泛函。
• 为一般化自由能建立 $H$-定理，确保系统弛豫至 Tsallis 分布的平衡态。
• 在非广延形式下，通过非线性薛定谔方程与欧拉型方程，统一广义量子力学与广义热力学。
• 确定在 $q=2\gamma-1$ 条件下，精确的具有 Tsallis 分布的自相似解出现。

提出的方法

• 引入一个具有 $q$-依赖动能项和 $\gamma$-依赖幂律非线性项的一般化非线性薛定谔方程。
• 应用德布罗意-马德尔ung变换，将一般化薛定谔方程映射为广义量子流体动力学方程（阻尼多聚指数欧拉方程）。
• 推导一个结合 $q$-一般化冯·魏茨扎克泛函与 $\gamma$-一般化 Tsallis 泛函的一般化自由能泛函。
• 通过涉及 $\rho$、$\nabla\rho$、$\Delta\rho$ 与 $\partial_{ij}\rho$ 的变分假设构造广义压强张量 $P_{ij}^g$，其系数由与流体动力学方程的一致性确定。
• 施加条件 $q=2\gamma-1$ 以确保具有 Tsallis 不变量分布的精确自相似解的存在。
• 在 $q=\gamma=1$ 时，恢复标准量子力学与标准热力学作为广义框架的极限情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 阻尼等温欧拉方程、斯莫卢奇夫斯基方程与薛定谔方程能否被推广，以容纳具有 Tsallis 不变量分布的自相似解？
• RQ2 何种一般化自由能泛函可支持一个包含 $q$-一般化冯·魏茨扎克项与 $\gamma$-一般化 Tsallis 泛函的系统的 $H$-定理？
• RQ3 在什么 $q$ 与 $\gamma$ 条件下，广义非线性薛定谔方程能存在具有 Tsallis 分布的精确自相似解？
• RQ4 当 $\gamma \neq 1$ 时，广义量子压强张量与标准量子压强张量有何不同？
• RQ5 在非线性流体动力学方程的背景下，广义量子力学与广义热力学之间存在何种形式联系？

主要发现

• 当 $q = 2\gamma - 1$ 时，广义非线性薛定谔方程存在具有 Tsallis 不变量分布的精确自相似解，扩展了标准量子力学中的高斯解。
• 广义自由能泛函包含一个 $q$-依赖的一般化冯·魏茨扎克项与一个 $\gamma$-依赖的 Tsallis 泛函，并满足 $H$-定理，确保系统弛豫至平衡态。
• 当 $\gamma \neq 1$ 时，广义压强张量 $P_{ij}^g$ 包含标准量子压强张量中不存在的新项，具体表现为表达式中存在非零的 $C \neq 0$ 项。
• 当 $\gamma = 1$ 时，广义压强张量退化为标准量子压强张量，模型恢复标准量子力学与玻尔兹曼热力学。
• 通过选择不同的 $k$ 值，广义压强张量可表示为三种不同形式，当 $\gamma = 1$ 时，这些形式分别退化为已知的标准形式（如 $P_{ij}^{(1)}$、$P_{ij}^{(2)}$ 及对称形式）。广义压强张量与 $\rho_0^{2-2\gamma}$ 成正比，反映了 Tsallis 分布的标度特性。
• 系统的尺度演化方程在形式上类似于宇宙学中的弗里德曼方程，暗示自相似流体坍缩与宇宙膨胀之间存在深刻的结构相似性。