[论文解读] Generalized Finite Element Systems for smooth differential forms and Stokes problem

Snorre H. Christiansen, Kaibo Hu|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文提出了一种广义有限元系统（FES）框架，用于构建微分形式的高正则性有限元复形，从而实现斯托克斯问题中速度与连续或不连续压力的协调混合有限元方法。该方法通过代数相容性条件确保交换插值算子的存在，并在2D与3D中构造了最小的、基于多项式基函数的复合元，包括新的C1连续向量场以及具有改进连续性性质的斯托克斯对。

ABSTRACT

We provide both a general framework for discretizing de Rham sequences of differential forms of high regularity, and some examples of finite element spaces that fit in the framework. The general framework is an extension of the previously introduced notion of Finite Element Systems, and the examples include conforming mixed finite elements for Stokes' equation. In dimension 2 we detail four low order finite element complexes and one infinite family of highorder finite element complexes. In dimension 3 we define one low order complex, which may be branched into Whitney forms at a chosen index. Stokes pairs with continuous or discontinuous pressure are provided in arbitrary dimension. The finite element spaces all consist of composite polynomials. The framework guarantees some nice properties of the spaces, in particular the existence of commuting interpolators. It also shows that some of the examples are minimal spaces.

研究动机与目标

• 开发一种广义有限元系统（FES）框架，以支持超越标准C0或H1连续元的微分形式更高阶连续性。
• 利用复合多项式基函数，为高正则性的微分形式（特别是k阶形式，k ≥ 1）构造新的有限元空间。
• 为斯托克斯问题提供协调的混合有限元对，支持连续或不连续压力，确保最优逼近与稳定性。
• 通过自由度上的代数约束建立交换插值算子的存在性，保证与de Rham复形的一致性。
• 证明所构造有限元空间的最小性与唯一性，尤其在2D与3D中的低阶与高阶情形。

提出的方法

• 通过允许非拉回限制算子扩展经典FES框架，以编码微分形式在网格界面处的更高阶连续性（如C1连续性）。
• 将局部有限元空间定义为在细化单纯形网格上的复合多项式函数，通过在顶点、边与面上共享函数值与导数来强制连续性。
• 采用调和自由度作为唯一性自由度的规范选择，以确保与外微分算子交换的插值算子。
• 应用平均化技术构造与微分算子交换的有界投影，利用交换插值算子的存在性。
• 为所有阶数的微分形式构建de Rham型复形，包括一个全新的3D低阶复形，其在索引1或2处可分支为Whitney形式。
• 通过维数计数论证证明唯一性并计算空间维数，尤其针对任意维数n中ℓ = n−1的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将FES框架推广以支持更高正则性的微分形式，如C1连续向量场？
• RQ2 哪些是最小的有限元空间，能与光滑微分形式的de Rham复形构成具有交换插值算子的复形？
• RQ3 能否构造出具有连续速度与连续或不连续压力的新型协调混合有限元用于斯托克斯问题？
• RQ4 为何在顶点与边处共享导数的复合多项式元能确保交换插值算子的存在？
• RQ5 所构造有限元空间的维数与结构如何，尤其在高阶与高维情形下？

主要发现

• 所提出的广义FES框架支持C1连续微分形式的有限元复形构造，从而实现更高正则性的离散化。
• 在2D中，明确构造了四个低阶与一个无限族高阶有限元复形，均具备交换插值算子。
• 在3D中，定义了一个新的低阶复形，其可在索引1或2处分支为Whitney形式，从而生成具有不连续压力的斯托克斯对。
• 在任意维数n中，ℓ = n−1的情形下得到一个最小复形，满足dim A^{n−1}(S) = (n+1)^2 且 dim A^n(S) = 1，从而证明了自由度的唯一性。
• 所构造的插值算子与散度算子交换，确保了稳定性，并简化了inf-sup条件的证明。
• 该框架提供了一种替代宏观元技术的方法，通过代数相容性与交换投影来证明斯托克斯问题中的inf-sup稳定性。