[论文解读] Generalized Fleming-Viot processes with immigration via stochastic flows of partitions

Clément Foucart|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文通过使用 $\mathbb{Z}_+$ 上的随机分划流，引入了带有移民的广义 Fleming-Viot 过程（GFVI），其中通过一种特殊凝结机制将一个外部移民祖先（标记为 0）纳入其中。关键贡献是基于对偶性的构造方法，将 GFVI 表征为一个 Feller 过程，并提供了初始类型灭绝的充分条件，将经典的对偶框架扩展至包含移民和同时多重繁殖的情形。

ABSTRACT

The generalized Fleming-Viot processes were defined in 1999 by Donnelly and Kurtz using a particle model and by Bertoin and Le Gall in 2003 using stochastic flows of bridges. In both methods, the key argument used to characterize these processes is the duality between these processes and exchangeable coalescents. A larger class of coalescent processes, called distinguished coalescents, was set up recently to incorporate an immigration phenomenon in the underlying population. The purpose of this article is to define and characterize a class of probability-measure valued processes called the generalized Fleming-Viot processes with immigration. We consider some stochastic flows of partitions of Z_{+}, in the same spirit as Bertoin and Le Gall's flows, replacing roughly speaking, composition of bridges by coagulation of partitions. Identifying at any time a population with the integers $\mathbb{N}:=\{1,2,...\}$, the formalism of partitions is effective in the past as well as in the future especially when there are several simultaneous births. We show how a stochastic population may be directly embedded in the dual flow. An extra individual 0 will be viewed as an external generic immigrant ancestor, with a distinguished type, whose progeny represents the immigrants. The "modified" lookdown construction of Donnelly-Kurtz is recovered when no simultaneous multiple births nor immigration are taken into account. In the last part of the paper we give a sufficient criterion for the initial types extinction.

研究动机与目标

• 将 Fleming-Viot 过程的对偶框架扩展至包含移民和同时多重繁殖事件。
• 利用 $\mathbb{Z}_+$ 上的随机分划流定义一类带移民的测度取值过程，其中 0 代表一个通用的移民祖先。
• 当不存在移民和多重繁殖时，将 Donnelly 和 Kurtz 的改进看图构造作为特例恢复出来。
• 为带有移民的广义 Fleming-Viot 过程建立 Feller 性质，并通过对其对偶性确定其生成元。
• 提供初始类型灭绝的充分条件，即当仅有移民谱系持续存在时。

提出的方法

• 该构造使用 $\mathbb{Z}_+$ 上的随机分划流 $\Pi(s,t)$，其中凝结替代桥接复合，编码了共聚和移民两种行为。
• 正向过程 $\hat{\Pi}(t) = \Pi(-t,0)$ 模拟种群正向时间演化，其中 $\hat{\Pi}_i(t)$ 表示个体 $i \geq 1$ 的后代，$\hat{\Pi}_0(t)$ 表示移民祖先的后代。
• 为个体分配类型：$U_0 = 0$ 表示移民，$U_i$ 表示 $i \geq 1$，交换性确保频率极限的一致性。
• 广义 Fleming-Viot 过程 $Z_t$ 定义为 $\hat{\Pi}(t)$ 中类型的经验测度，通过 de Finetti 定理和画框构造分析其收敛性。
• 通过与特殊交换性共聚过程的对偶性推导出 $Z_t$ 的生成元，表明 $Z_t$ 是概率测度空间上的 Feller 过程。
• 通过分析时间演化过程中分划块及其类型频率的渐近行为，推导出初始类型灭绝的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持与共聚过程对偶性的同时，将广义 Fleming-Viot 过程扩展以包含移民？
• RQ2 特殊分划流在统一的随机框架中如何同时编码多重繁殖和移民？
• RQ3 引入一个外部移民祖先（标记为 0）如何影响种群中类型频率的长期行为？
• RQ4 在何种条件下初始类型分布会随时间消失，即仅移民谱系持续存在？
• RQ5 能否在这一更广泛的随机流框架中将 Donnelly 和 Kurtz 的改进看图构造作为特例恢复？

主要发现

• 证明了带移民的广义 Fleming-Viot 过程（GFVI）是一个 Feller 过程，确保其具有强马氏性和 Feller 连续性。
• 通过与特殊交换性共聚过程的对偶性，显式确定了 GFVI 的生成元，提供了完整的无穷小刻画。
• 正向分划过程中类型的经验测度几乎必然收敛至一个包含画框结构的极限测度：$(1 - \sum_{i \geq 0} |\pi_i|)\rho + |\pi_0|\delta_0 + \sum_{i \geq 1} |\pi_i|\delta_{U_i}$，其中 $\rho$ 是 $[0,1]$ 上的均匀测度。
• 初始类型灭绝的条件被推导为 $\sum_{i \geq 1} \pi_i \to 0$ 几乎必然，这发生在非移民块的总质量在极限中消失时。
• 当不存在移民且无同时多重繁殖时，该模型可恢复 Donnelly 和 Kurtz 的改进看图构造，验证了与先前工作的自洽性。
• 通过在分划上使用泊松随机测度，实现了分划流的构造，使得在统一框架下可同时处理多重凝结和移民。