[论文解读] Generalized Floquet theory for open quantum systems

C. M. Dai, Hong Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文将弗洛quet理论推广至具有调制周期驱动的开放量子系统，其中周期性因缓慢变化的参数（如啁啾频率或幅度斜坡）而被破坏。通过将时间演化算符分解为缓慢变化的有效生成元与周期性微运动算符的乘积，作者推导出高频频段展开式，能够精确描述长时间动力学，从而实现在现实非理想驱动条件下的开放量子系统控制。

ABSTRACT

For a periodically driven open quantum system, the Floquet theorem states that the time evolution operator $Λ(t,0)$ of the system can be factorized as $Λ(t,0)=\mathcal{D}(t)e^{\mathcal{L}_{eff}t}$ with micro-motion operator $\mathcal{D}(t)$ possessing the same period as the external driving, and time-independent operator $\mathcal{L}_{eff}$. In this work, we extend this theorem to open systems that follow a modulated periodic evolution, in which the fast part is periodic while the slow part breaks the periodicity. We derive a factorization for the time evolution operator that separates the long time dynamics and the micro-motion for the open quantum system. High-frequency expansions for the effective evolution operator control the long time dynamics, and the micro-motion operator is also given and discussed. It may find applications in quantum engineering with open systems following modulated periodic evolution.

研究动机与目标

• 将弗洛quet理论从严格周期性驱动推广至具有缓慢变化参数的开放量子系统。
• 处理周期性驱动不完美时的实际情形，例如啁啾激光脉冲或幅度斜坡。
• 推导时间演化超算符的因子分解形式，将长时间动力学与微运动分离。
• 推导有效生成元与微运动算符的高频展开式，使其与精确动力学相匹配。

提出的方法

• 将时间演化超算符 Λ(t,s) 因子分解为一个缓慢变化的有效生成元 L_eff(t) 与一个周期性微运动算符 D(t) 的乘积。
• 利用有效频率的倒数 ω_eff^(-1) 的高频展开，系统地计算 L_eff(t) 至二阶。
• 引入一个含快速周期分量与缓慢变化分量的时间依赖生成元 L(t)，通过参数如 f(t) 与 ω_d(t) 建模。
• 应用旋转波近似与 Magnus 展开技术，分离快速与缓慢动力学。
• 将微运动算符 D(t) 构造为一个时间周期性超算符的指数形式，该形式由一阶展开导出。
• 通过将有效动力学与耗散驱动谐振子的精确解进行数值比较，验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将弗洛quet理论推广至因缓慢变化参数导致非严格周期性驱动的开放量子系统？
• RQ2 当生成元 L(t) 受缓慢参数调制时，时间演化超算符 Λ(t,s) 的结构是什么？
• RQ3 有效生成元与微运动算符的高频展开如何捕捉此类系统的长时间动力学？
• RQ4 在啁啾或幅度斜坡驱动下，有效生成元与微运动算符在多大程度上能复现精确动力学？
• RQ5 该形式化方法是否可应用于具有多个频率尺度的系统（如一个强驱动与一个弱驱动）？

主要发现

• 时间演化超算符 Λ(t,s) 被因子分解为 Λ(t,s) = D(t) exp[∫₀ᵗ L_eff(τ)dτ]，其中 L_eff(t) 控制长时间动力学，D(t) 描述周期性微运动。
• 有效生成元 L_eff(t) 为时间依赖量，其时间变化尺度与调制参数（如 f(t) 或 ω_d(t)）相同，且已推导至 ω_eff^(-1) 的二阶展开。
• 微运动算符 D(t) 近似为参数为 α = -f(t)e^{iωt}/(2ω_eff) 的位移算符，捕捉快速振荡。
• 数值结果表明，使用二阶有效生成元 L_eff 的有效动力学与精确动力学高度一致，仅在微运动引起的微小振荡处存在偏差。
• 当驱动频率 ω_d(t) 为啁啾（缓慢变化）时，有效生成元仍能准确描述稳态行为，系统可达到时间平均稳态。
• 该形式化方法在弱系统-环境耦合下依然有效，并可自然推广至多频驱动情形（ω₁ ≫ ω₂）