[论文解读] Generalized gauge actions on $k$-graph $C^*$-algebras: KMS states and Hausdorff structure

Carla Farsi, Elizabeth Gillaspy+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文建立了在广义规范作用下，$k$-图 $C^*$-代数上的KMS态与相关超度量康托集的Hausdorff测度及维数之间的深层联系。通过函子 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$，作者表明KMS态由周期性群与作为Hausdorff测度的Borel概率测度参数化，逆温 $\beta$ 与Hausdorff维数 $\theta$ 通过 $\beta = \theta$ 相关联。关键结果是Hausdorff测度 $H^\theta$ 与KMS态测度 $\mu_{y,\theta}$ 一致，且 $\theta$ 是由 $y$ 导出的度量下 $\Lambda^\infty$ 的Hausdorff维数。

ABSTRACT

For a finite, strongly connected $k$-graph $Λ$, an Huef, Laca, Raeburn and Sims studied the KMS states associated to the preferred dynamics of the $k$-graph $C^*$-algebra $C^*(Λ)$. They found that these KMS states are determined by the periodicity of $Λ$ and a certain Borel probability measure $M$ on the infinite path space $Λ^\infty$ of $Λ$. Here we consider different dynamics on $C^*(Λ)$, which arise from a functor $y: Λ o \mathbb{R}_+$ and were first proposed by McNamara in his thesis. We show that the KMS states associated to McNamara's dynamics are again parametrized by the periodicity group of $Λ$ and a family of Borel probability measures on the infinite path space. Indeed, these measures also arise as Hausdorff measures on $Λ^\infty$, and the associated Hausdorff dimension is intimately linked to the inverse temperatures at which KMS states exist. Our construction of the metrics underlying the Hausdorff structure uses the functors $y: Λ o \mathbb{R}_+$; the stationary $k$-Bratteli diagram associated to $Λ$; and the concept of exponentially self-similar weights on Bratteli diagrams.

研究动机与目标

• 理解广义规范作用下 $k$-图 $C^*$-代数上KMS态的结构，拓展先前关于标准规范作用的研究。
• 刻画McNamara广义规范动力下KMS态存在的逆温度 $\beta$。
• 建立KMS态存在性与无限路径空间 $\Lambda^\infty$ 的Hausdorff维数之间的精确联系。
• 证明KMS态测度源于由函子 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$ 导出的 $\Lambda^\infty$ 上的超度量的Hausdorff测度。
• 证明超度量康托集 $\Lambda^\infty$ 的Hausdorff维数 $\theta$ 等于KMS态存在的逆温度 $\beta$。

提出的方法

• 本文通过函子 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$ 与关联于 $\Lambda$ 的稳定 $k$-Bratteli图上的自相似权 $w_{y,\theta}$，在无限路径空间 $\Lambda^\infty$ 上构造了一个超度量 $d_{y,\theta}$。
• 利用权 $w_{y,\theta}(\lambda) = e^{-\theta y(\lambda)} \rho(B(y,\theta))^{-d(\lambda)} \xi^{y,\theta}_{s(\lambda)}$，作者定义了一个在 $\Lambda^\infty$ 上诱导自相似结构的度量。
• 通过应用超度量康托集上Hausdorff测度的理论，作者计算了柱集 $Z(\lambda)$ 上的Hausdorff测度 $H^\theta$，并证明 $H^\theta(Z(\lambda)) = \epsilon(\lambda)^\theta$。
• 该构造依赖于权 $w_{y,\theta}$ 的指数自相似性，这确保了Hausdorff维数 $\theta$ 的存在性。
• 通过 $C^*$-代数的群胚模型与拟不变测度，作者将KMS态识别为由在动力下不变的 $\Lambda^\infty$ 上的Borel概率测度参数化。
• 最后，本文证明KMS态测度 $\mu_{y,\theta}$ 与Hausdorff测度 $H^\theta$ 一致，建立了直接的测度论对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $k$-图 $C^*$-代数上的广义规范作用下，KMS态存在的逆温度 $\beta$ 是什么？
• RQ2 KMS态如何通过 $\Lambda^\infty$ 上的测度来参数化？
• RQ3 在广义规范动力下，无限路径空间 $\Lambda^\infty$ 的几何与测度论结构是怎样的？
• RQ4 如何将 $\Lambda^\infty$ 的Hausdorff维数与KMS态的逆温度 $\beta$ 联系起来？
• RQ5 能否将KMS态测度识别为由函子 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$ 导出的度量下 $\Lambda^\infty$ 上的规范Hausdorff测度？
• RQ6 超度量康托集 $\Lambda^\infty$ 的Hausdorff维数 $\theta$ 是否等于KMS态存在的逆温度 $\beta$？

主要发现

• 在度量 $d_{y,\theta}$ 下，KMS态存在的逆温度 $\beta$ 恰好是 $\Lambda^\infty$ 的Hausdorff维数 $\theta$ 等于 $\beta$ 的那些值。
• KMS态由 $\Lambda$ 的周期性群与 $\Lambda^\infty$ 上的一族Borel概率测度参数化，这些测度被证明恰好是Hausdorff测度 $H^\theta$。
• 超度量康托集 $(\Lambda^\infty, d_{y,\theta})$ 的Hausdorff维数 $\theta$ 等于自相似权 $w_{y,\theta}$ 的指数，且该 $\theta$ 是KMS态存在的临界逆温度。
• 在 $\Lambda^\infty$ 上，Hausdorff测度 $H^\theta$ 与KMS态测度 $\mu_{y,\theta}$ 完全一致，因此对所有柱集 $Z(\lambda)$ 有 $H^\theta(Z(\lambda)) = \mu_{y,\theta}(Z(\lambda)) = \epsilon(\lambda)^\theta$。
• 在条件 (w-I) 或 (w-II) 下，$\Lambda^\infty$ 关于度量 $d_{y,\theta}$ 的Hausdorff维数为 $\theta$，且该维数决定了KMS态的存在性。
• 通过函子 $y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$ 与关联自相似权构造度量 $d_{y,\theta}$，确保所得空间为具有明确定义Hausdorff结构的超度量康托集。