[论文解读] Generalized Greatest Common Divisors for the Orbits under Rational Functions

Keping Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Analytic and geometric function theory被引用 4

一句话总结

本文在 Vojta 猜想下建立了两个多项式迭代的广义最大公约数（gcd）的条件上界。利用高度函数和代数几何方法，证明了对于次数 $d \geq 2$ 的多项式在一般轨道下，有 $\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta) \leq C \cdot \exp(\varepsilon \cdot d^n)$，其中常数 $C$ 依赖于参数，且 $\varepsilon > 0$ 为任意正数。

ABSTRACT

Assume Vojta's Conjecture. Suppose $a, b, α,β\in \mathbb{Z}$, and $f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ are polynomials of degree $d \ge 2$. Assume that the sequence $(f^{\circ n}(a), g^{\circ n}(b))_n$ is generic and $α,β$ are not exceptional for $f,g$ respectively, we prove that for each given $\varepsilon > 0$, there exists constant $C = C(\varepsilon,a,b,α,β,f,g)>0$, such that for all $n \ge 1$, we have $$\gcd(f^{\circ n}(a)-α, g^{\circ n}(b) -β) \le C\cdot\exp({\varepsilon\cdot d^n}). $$ We prove an estimate for rational functions and for a more general gcd and then obtain the above inequality as a consequence.

研究动机与目标

• 将 Bugeaud-Corvaja-Zannier 对幂映射的 gcd 上界结果推广至多项式动力系统。
• 利用高度理论，为有理函数下的轨道建立广义的 gcd 估计。
• 在一般性和非例外性条件下，证明迭代值的 gcd 最多以指数速度增长。
• 在 Vojta 猜想下，通过算术级数刻画大 gcd 出现的条件。

提出的方法

• 将 Silverman 的 gcd 高度框架应用于动力系统，将 gcd 解释为 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 的一个爆破上的高度。
• 利用 Vojta 猜想来控制位于真 Zariski 闭子集之外的点的高度。
• 通过 $f, g$ 对 $\alpha, \beta$ 的非例外性条件来控制分支。
• 运用动力系统 Mordell-Lang 定理分析 gcd 可能较大的例外集合的结构。
• 通过次数和 canonical 高度估计，将问题约化为曲线上高度比较。
• 利用 canonical 高度 $\hat{h}_f(a)$, $\hat{h}_g(b)$ 推导出 gcd 的渐近增长速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，迭代多项式值的 gcd 增长缓慢？
• RQ2 Vojta 猜想能否用于控制动力轨道中值的 gcd？
• RQ3 满足 $\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta)$ 较大的 $n$ 的集合具有何种结构？
• RQ4 轨道的通用性如何影响 gcd 的增长？
• RQ5 当 gcd 以最大可能的指数速率 $\exp(\varepsilon d^n)$ 增长时，条件为何？

主要发现

• 对任意 $\varepsilon > 0$，存在常数 $C = C(\varepsilon, a, b, \alpha, \beta, f, g) > 0$，使得对所有 $n \geq 1$，有 $\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta) \leq C \cdot \exp(\varepsilon \cdot d^n)$。
• 该上界在以下假设下成立：$f, g$ 为次数 $d \geq 2$ 的多项式，$a, b, \alpha, \beta \in \mathbb{Z}$，且 $\alpha, \beta$ 对 $f, g$ 不是例外值。
• 假设序列 $(f^{\circ n}(a), g^{\circ n}(b))_n$ 在 $\overline{\mathbb{Q}}^2$ 中为一般性的，这等价于 Zariski 稠密性。
• 若 gcd 以速率 $\eta \cdot d^n$ 增长，则满足该速率的 $n$ 的集合要么是有限集，要么是有限个算术级数的并集。
• 当增长率 $\eta$ 与 canonical 高度比一致时，沿有限个算术级数 $J$，有 $\lim_{n \to \infty, n \in J} \frac{1}{\eta d^n} \log \gcd = 1$。
• 该结果依赖于 Vojta 猜想，并基于算术动力系统与丢番图逼近的高级工具。