[论文解读] Generalized Heisenberg groups and Shtern's question

Michael Megrelishvili|ArXiv.org|Nov 6, 2004

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文证明了对于任意赋范空间 $X$，子群 $X$ 和 $X^*$ 在广义海森堡群 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 中是相对极小的。此外，论文进一步证明了 $G = H(L_4[0,1])$ 是可反射表示的，但其在希尔伯特空间中的弱连续酉表示无法分离点——从而回答了 A. Shtern 关于此类群存在的问题。

ABSTRACT

Let H(X) be the generalized Heisenberg group induced by a normed space X. We prove that X is a relatively minimal subgroup of H(X). We show that the group $G:=H(L_4[0,1])$ is reflexively representable but weakly continuous unitary representations of G in Hilbert spaces do not separate points of G. This answers a question of A. Shtern.

研究动机与目标

• 为解决 A. Shtern 关于存在一个可反射表示的拓扑群，其在希尔伯特空间中的弱连续酉表示无法分离点的问题。
• 证明对于任意赋范空间 $X$，子群 $X$ 和 $X^*$ 在广义海森堡群 $H(X)$ 中是相对极小的。
• 分析 $L_p$-空间上函数的双重极限性质（DLP），以验证 $H(L_4[0,1])$ 上特定函数的弱几乎周期性。
• 证明群 $G = H(L_4[0,1])$ 是可反射表示的，通过构造一个有界连续函数，该函数是弱几乎周期的但不分离点。
• 表明酉表示中点分离的失败与 $L_4$ 和 $L_{4/3}$ 对偶空间的结构有关，通过 DLP 和 Eberlein-Šmulian 定理加以说明。

提出的方法

• 通过标准对偶配对 $w: X \times X^* \to \mathbb{R}$ 定义广义海森堡群 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$，其群运算是 $(r_1,x_1,f_1) \cdot (r_2,x_2,f_2) = (r_1 + r_2 + f_1(x_2), x_1 + x_2, f_1 + f_2)$。
• 通过证明在 $H(X)$ 上任意更粗的豪斯多夫群拓扑在 $X$ 和 $X^*$ 上诱导出原始拓扑，从而证明 $X$ 和 $X^*$ 在 $H(X)$ 中的相对极小性，利用商映射 $q: (H(X), \sigma) \to X \times X^*$ 的连续性。
• 在 $G = H(L_4[0,1])$ 上构造一个有界连续函数 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$，使其能将单位元与闭集分离。
• 通过验证其所有分量函数 $\|f\|$、$\|x\|$ 和 $f(x)$ 满足双重极限性质（DLP），证明 $\phi$ 是弱几乎周期的（wap）。
• 利用 Shoenberg 的结果：当 $1 \leq p \leq 2$ 时，$f \mapsto e^{-\|f\|^p}$ 在 $L_p$ 上是正定的，从而这类函数是 wap，以确认 $L_{4/3}$ 上 $\|f\|$ 的 DLP。
• 应用 Eberlein-Šmulian 定理，从 $L_4$ 和 $L_{4/3}$ 中的有界序列中提取弱收敛子列，并利用对偶配对的分别连续性，证明双重极限 $\lim_m \lim_n f_n(y_m) = \lim_n \lim_m f_n(y_m)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个可反射表示的拓扑群，其在希尔伯特空间中的弱连续酉表示无法分离点？
• RQ2 对于每个赋范空间 $X$，子群 $X$ 和 $X^*$ 是否在广义海森堡群 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 中是相对极小的？
• RQ3 $H(L_4[0,1])$ 上的函数 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$ 是否满足双重极限性质（DLP），从而意味着它是弱几乎周期的？
• RQ4 在假设存在的情况下，能否证明有界序列在 $L_4$ 和 $L_{4/3}$ 中的双重极限 $\lim_m \lim_n f_n(y_m)$ 与 $\lim_n \lim_m f_n(y_m)$ 相等？
• RQ5 在所有 $L_p$-空间范数中，$c_0$ 上的范数是否是唯一不满足 DLP 的？这与酉表示中点分离失败的关系如何？

主要发现

• 对于每个赋范空间 $X$，子群 $X$ 和 $X^*$ 在广义海森堡群 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 中是相对极小的，因为 $H(X)$ 上任意更粗的豪斯多夫群拓扑在 $X$ 和 $X^*$ 上都诱导出原始拓扑。
• 群 $G = H(L_4[0,1])$ 是可反射表示的，因为它可以连续嵌入到一个具有强算子拓扑的反射巴拿赫空间的等距同构群中。
• $G$ 上的函数 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$ 是弱几乎周期的，因为它对其所有分量函数都满足双重极限性质（DLP）。
• $L_{4/3}$ 上 $\|f\|$ 的 DLP 成立，因为 $f \mapsto e^{-\|f\|^{4/3}}$ 在 $L_{4/3}$ 上是正定的，而正定函数是弱几乎周期的。
• $L_4$ 上 $\|x\|$ 的 DLP 成立，依据论文引理 3.3.5 的结果，该结果建立了当 $1 \leq p \leq 2$ 时 $L_p$ 上范数的 DLP。
• 由于弱序列紧致性及对偶配对的分别连续性，有界序列在 $L_4$ 和 $L_{4/3}$ 中的双重极限 $\lim_m \lim_n f_n(y_m)$ 与 $\lim_n \lim_m f_n(y_m)$ 相等，从而解决了配对项的 DLP。