[论文解读] Generalized Hitchin systems on rational surfaces

Eric M. Rains|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用 13

一句话总结

该论文通过将层的模空间识别为对称椭圆差分方程模空间的几何松弛，构建了有理曲面上差分方程的广义Hitchin系统。它证明了这些层模空间可解析对称奇点，并为可积系统（包括椭圆Calogero-Moser系统的退化形式）提供几何实现，同时实现有理曲面及其反canonical曲线对称积的辛解析。

ABSTRACT

By analogy with work of Hitchin on integrable systems, we construct natural relaxations of several kinds of moduli spaces of difference equations, with special attention to a particular class of difference equations on an elliptic curve (arising in the theory of elliptic special functions). The common feature of the relaxations is that they can be identified with moduli spaces of sheaves on rational surfaces. Not only does this make various natural questions become purely geometric (rigid equations correspond to -2-curves), it also establishes a number of nontrivial correspondences between different moduli spaces, since a given moduli space of sheaves is typically the relaxation of infinitely many moduli spaces of equations. In the process of understanding this, we also consider a number of purely geometric questions about rational surfaces with anticanonical curves; e.g., we give an essentially combinatorial algorithm for testing whether a given divisor is the class of a -2-curve or is effective with generically integral representative.

研究动机与目标

• 将Hitchin的可积系统推广至有理曲面上的差分方程。
• 将层的模空间识别为对称椭圆差分方程模空间的几何松弛。
• 通过层的模空间实现有理曲面及其反canonical曲线对称积的辛解析。
• 通过几何分类阐明$-2$-曲线在刚性差分方程中的作用。
• 将有理曲面的非交换形变与辛解析及可积系统联系起来。

提出的方法

• 构建具有指定陈类和欧拉示性数的有理曲面上半稳定1维层的模空间。
• 利用有理曲面上的吹下结构和除子理论，分类有效除子与 nef 除子，包括$-2$-曲线。
• 应用非交换上同调，将对称差分方程建模为无限二面体群的1-上循环。
• 通过原始方程空间的规范理论松弛，建立差分方程模空间与层模空间之间的联系。
• 证明层模空间是有理曲面除去反canonical曲线的对称积的辛解析。
• 利用Hilbert概形与奇异Hilbert概形构造，在非光滑情形实现共形解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将对称椭圆差分方程的模空间松弛为有理曲面上的几何模问题？
• RQ2 在有理曲面上，$-2$-曲线如何解释椭圆差分方程中刚性的几何意义？
• RQ3 在何种条件下，有理曲面上层的模空间可解析曲面与其反canonical曲线对称积？
• RQ4 有理曲面的非交换形变如何与对称幂的辛解析相关联？
• RQ5 E_8格及其作用在有理曲面上构造广义Calogero-Moser系统的角色是什么？

主要发现

• 在$K_X^2 = 0$的有理曲面上，层的模空间提供了曲面除去反canonical曲线的对称幂的辛解析。
• 给定的层模空间是无穷多个差分方程模空间的松弛，揭示了深刻的几何对应关系。
• 条件$A(-q-z) = A(z)^{-1}$确保对称解的一致性，并对应于非交换上同调中的上循环条件。
• 当$W$光滑时，模空间${\rm M}^{(n)}_X(1)$同构于$W$上$n$个点的Hilbert概形，提供共形解析。
• 当$W$奇异时，模空间${\rm M}^{(n)}_X(1)$实现的是奇异Hilbert概形，而非标准Hilbert概形，作为共形解析。
• 该构造产生椭圆Painlevé方程第$n$个对称幂的1参数形变，其微分层次类比最近已被构造。