[论文解读] Generalized Hodge Metrics and BCOV torsion on Calabi-Yau Moduli

Hao Fang, Zhiqin Lu|ArXiv.org|Oct 1, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文建立了卡拉比-丘模空间上魏尔-彼得森度量、广义霍奇度量与BCOV torsion之间的新关系，证明了某些极化卡拉比-丘模空间不包含完全子簇。此外，通过利用霍奇结构变化的曲率估计，应用退化版施瓦茨引理，证明了BCOV torsion的复Hessian被庞加莱度量所控制。

ABSTRACT

We establish an unexpected relation among the Weil-Petersson metric, the generalized Hodge metrics and the BCOV torsion. Using this relation, we prove that certain kind of moduli spaces of polarized Calabi-Yau manifolds do not admit complete subvarieties. That is, there is no complete family for certain class of polarized Calabi-Yau manifolds. We also give an estimate of the complex Hessian of the BCOV torsion using the relation. After establishing a degenerate version of the Schwarz Lemma of Yau, we prove that the complex Hessian of the BCOV torsion is bounded by the Poincaré metric.

研究动机与目标

• 在卡拉比-丘模空间上建立魏尔-彼得森度量、广义霍奇度量与BCOV torsion之间深刻的几何关系。
• 证明某些极化卡拉比-丘模空间不包含完全子簇，意味着这些类中不存在完全族。
• 利用曲率关系与微分几何技术，估计BCOV torsion函数的复Hessian。
• 将亚乌的施瓦茨引理推广至退化情形，以庞加莱度量为界控制BCOV torsion的Hessian。

提出的方法

• 通过欧拉示性数推导出广义霍奇度量之和、BCOV torsion的对数与魏尔-彼得森度量之间的关键恒等式。
• 利用zeta-正则化确定$ar{ abla}$-拉普拉斯算子的行列式，将BCOV torsion定义为模空间上的光滑函数。
• 应用霍奇结构变化的曲率公式，特别是霍奇丛及其联络的曲率。
• 在下界为Ricci曲率的条件下应用广义最大值原理，以控制BCOV torsion的Hessian的增长。
• 引入亚乌施瓦茨引理的退化版本，以比较BCOV torsion的Hessian与庞加莱度量。
• 通过曲率张量及$ abla$-导数的调和分量分解，分析度量分量的二阶导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在卡拉比-丘模空间上，魏尔-彼得森度量、广义霍奇度量与BCOV torsion之间有何关系？
• RQ2 能否利用霍奇理论的曲率估计来界定BCOV torsion的复Hessian？
• RQ3 卡拉比-丘模空间中完全子簇的存在是否与霍奇理论导出的曲率和度量关系矛盾？
• RQ4 欧拉示性数在通过BCOV torsion统一魏尔-彼得森度量与广义霍奇度量中起什么作用？
• RQ5 能否形式化并应用一种退化版施瓦茨引理，以控制BCOV torsion等谱不变量的Hessian？

主要发现

• 本文建立了恒等式$\sum_{i=1}^{n}(-1)^i \omega_{H^i} - \frac{\sqrt{-1}}{2\pi} \partial\bar{\partial} \log T = \frac{\chi_Z}{12} \omega_{WP}$，将所有三类几何对象联系起来。
• 对于初等卡拉比-丘流形，霍奇度量满足$\omega_H = (-1)^n \left( \frac{\sqrt{-1}}{2\pi} \partial\bar{\partial} \log T + \frac{\chi_Z}{12} \omega_{WP} \right)$，表明其与度量的直接等价性。
• 通过退化版施瓦茨引理，BCOV torsion的复Hessian被一个庞加莱度量的常数倍所上界控制。
• BCOV torsion的Hessian在度量分量上被一个正定二次型从下方控制，确保在非退化条件下具有严格正性。
• 将广义最大值原理应用于Hessian，得到BCOV torsion的统一上界，表明其增长受到控制。
• 基于由此导出的关系所获得的曲率与度量控制，证明了某些卡拉比-丘模空间中不存在完全子簇。