[论文解读] Generalized junction conditions for degenerate parabolic equations

Cyril Imbert, Vinh Duc Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文针对具有不连续系数的退化抛物方程在界面处的广义结点条件进行了研究，通过控制理论导出的通量受限条件与顶点测试函数，建立了比较原理。该研究将结果推广至多维情形与定常解，并解决了关于哈密顿-雅可比方程在图上趋于零粘性极限的开放问题，同时提供了该大偏差原理的PDE证明。

ABSTRACT

In this paper, we study degenerate parabolic equations in non-divergence form whose coefficients are discontinuous along interfaces. At these discontinuities, the imposed conditions are compatible with the maximum principle but they do not rely on any compatibility of coefficients across interfaces. An important and simple example is when the equation is posed in the Euclidian space and when coefficients are smooth on either side of a hyperplane. There are also some motivations for solving such partial differential equations on networks, and in particular on junctions, that are the networks made of one vertex and a finite number of infinite edges. We explain here that the approach proposed by the first author and Monneau (2014) for Hamilton-Jacobi equations can be further developed to handle generalized junction conditions (such as the generalized Kirchoff ones) and second order terms. We first prove that generalized junction conditions reduce to flux-limited ones, which are of control-type. We then use the vertex test function (Imbert, Monneau – 2014) to prove a comparison principle. These results extend naturally to the multi-dimensional setting and to stationary solutions. We apply our results to two different multi-dimensional problems. On the one hand, we give a complete answer to an open question about these equations: we determine the vanishing viscosity limit associated with Hamilton-Jacobi equations posed on multi-domains and networks. In the two-domain and convex case, the maximal Ishii solution identified by Barles, Briani and Chasseigne (2012) is selected. On the other hand, we give a short and simple PDE proof of a large deviation results of Boue, Dupuis and Ellis (2000).

研究动机与目标

• 为具有不连续系数的退化抛物方程在界面处制定广义结点条件，且无需在界面处满足系数相容性要求。
• 将Imbert和Monneau（2014）关于哈密顿-雅可比方程的方法推广至非散度型与不连续系数的二阶PDE。
• 通过顶点测试函数与通量受限条件，为这些方程证明比较原理。
• 解决哈密顿-雅可比方程在多区域与网络上趋于零粘性极限的开放问题。
• 基于PDE方法，为Boué、Dupuis与Ellis（2000）先前通过概率方法建立的大偏差原理提供证明。

提出的方法

• 通过将广义结点条件约化为通量受限条件，后者具有控制理论类型，且与最大值原理相容。
• 应用Imbert与Monneau（2014）提出的顶点测试函数技术，为具有不连续系数的退化抛物方程建立比较原理。
• 利用非散度型方程的结构分析界面处的行为，尤其在多维与定常情形下。
• 建立广义结点条件与通量受限条件之间的等价性，从而可应用粘性解技术。
• 将该框架应用于两个不同问题：多区域上的趋于零粘性极限与网络上的大偏差原理。
• 利用比较原理，识别出在双区域凸情形下，最大Ishii解即为趋于零粘性极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些广义结点条件与具有不连续系数的退化抛物方程的最大值原理相容？
• RQ2 如何利用通量受限条件来定义并分析系数不连续界面处的解？
• RQ3 哈密顿-雅可比方程在多区域与网络上趋于零粘性极限时的极限是什么？选择的是哪一解？
• RQ4 能否基于粘性解技术，为Boué、Dupuis与Ellis（2000）的大偏差原理提供PDE证明？
• RQ5 广义结点条件如何自然地推广至多维与定常情形？

主要发现

• 具有不连续系数的退化抛物方程的广义结点条件可约化为通量受限条件，后者具有控制理论类型，且确保与最大值原理的一致性。
• 顶点测试函数方法成功地为具有不连续系数的退化抛物方程在界面处建立了比较原理。
• 在双区域凸情形下，Barles、Briani与Chasseigne（2012）所识别的最大Ishii解被选为趋于零粘性极限。
• 为Boué、Dupuis与Ellis（2000）的大偏差原理提供了一个完整且简洁的PDE证明，该原理此前通过概率方法证明。
• 该框架可自然推广至多维与定常情形，从而可广泛应用于网络与结点问题。
• 本研究解决了关于哈密顿-雅可比方程在图上趋于零粘性极限时解的选择问题的开放问题。