[论文解读] Generalized Kenmotsu Manifolds

Aysel Turgut Vanlı, Ramazan Sarı|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文将Kenmotsu流形推广为更高维的广义Kenmotsu流形，定义在$(2n+s)$维的$s$-接触度量流形上。建立了几乎$s$-接触度量流形为广义Kenmotsu流形的充要条件，证明此类流形为局部扭曲积空间，并在半对称或射影半对称曲率条件下，表明其$φ$-截面曲率为$-s$。

ABSTRACT

In 1972, K. Kenmotsu studied a class of almost contact Riemannian manifolds. Later, such a manifold was called a Kenmotsu manifold. This paper, we studied Kenmotsu manifolds with $(2n+s)$-dimensional $s-$contact metric manifold and this manifold, we have called generalized Kenmotsu manifolds. Necessary and sufficient condition is given for an almost $s-$contact metric manifold to be a generalized Kenmotsu manifold.We show that a generalized Kenmotsu manifold is a locally warped product space. In addition, we study some curvature properties of generalized Kenmotsu manifolds. Moreover, we show that the $φ$% -sectional curvature of any semi-symmetric and projective semi-symmetric $% (2n+s)$-dimensional generalized Kenmotsu manifold is $-s$.

研究动机与目标

• 将Kenmotsu流形从$(2n+1)$维情形推广至更高维的$s$-接触度量流形（$s > 1$）
• 确定几乎$s$-接触度量流形为广义Kenmotsu流形的必要且充分条件
• 研究广义情形下的曲率性质，特别是Ricci曲率与截面曲率
• 建立广义Kenmotsu流形为局部扭曲积空间的结论
• 在半对称或射影半对称曲率条件下，确定$φ$-截面曲率的值

提出的方法

• 将广义Kenmotsu流形定义为满足类似Kenmotsu原始方程的修改版曲率条件的$(2n+s)$维$s$-接触度量流形
• 利用黎曼联络$∇$与曲率张量$R$，推导涉及$φ$、$ξ_i$、$η^i$与$g$的结构恒等式
• 应用Nijenhuis挠率及张量场$N^1$、$N^2$刻画正规性与可积性条件
• 以扭曲积结构$L^s \times_f V^{2n}$作为典型示例，验证广义构造的正确性
• 通过黎曼曲率张量与Weyl射影张量分析半对称与射影半对称曲率条件
• 推导并操作涉及Ricci张量$S$、$∇S$与$η$-平行性的张量恒等式，以确定曲率约束

实验结果

研究问题

• RQ1 几乎$s$-接触度量流形为广义Kenmotsu流形的必要且充分条件是什么？
• RQ2 广义Kenmotsu流形的曲率结构与标准Kenmotsu流形有何不同？
• RQ3 在何种条件下广义Kenmotsu流形为局部扭曲积空间？
• RQ4 在半对称与射影半对称广义Kenmotsu流形中，$φ$-截面曲率的值是多少？
• RQ5 广义Kenmotsu流形中Ricci张量何时为$η$-平行？这对其曲率意味着什么？

主要发现

• 给出了几乎$s$-接触度量流形为广义Kenmotsu流形的必要且充分条件，其形式为涉及$∇\varphi$、$d\Phi$与Nijenhuis挠率的特定曲率恒等式
• 广义Kenmotsu流形局部等距于扭曲积空间$L^s \times_f V^{2n}$，其中$f(t) = ce^t$
• 任意半对称的$(2n+s)$维广义Kenmotsu流形的$φ$-截面曲率为$-s$（精确值）
• 任意射影半对称的$(2n+s)$维广义Kenmotsu流形的$φ$-截面曲率亦为$-s$
• Ricci半对称的广义Kenmotsu流形满足$S(X,Y) = -2n\{s g(\varphi X, \varphi Y) + \sum_{i,j=1}^s \eta^i(X)\eta^j(Y)\}$，当$s=1$时表明其为Einstein流形
• 当$s=1$时，射影半对称的Kenmotsu流形为Einstein流形，当且仅当其$φ$-截面曲率为$-1$