[论文解读] Generalized Kloosterman Sums from M2-branes

João Gomes|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文将M-theory中M2-brane对广义Kloosterman和的全息推导，从$χ=4$弦理论中的一般化Kloosterman和扩展到四分之一BPS黑洞，表明对偶于$AdS_2 \times S^1$的$χ_c$轨道空间的M-theory路径积分中，模形式的Rademacher展开式源自于M-theory路径积分。关键结果是通过轨道空间上的局部化与Chern-Simons理论，实现了对全息广义Kloosterman和结构（包括谱流扇区和极点态贡献）的全息体积分部计算。

ABSTRACT

Kloosterman sums play a special role in analytic number theory, for expressing the integer Fourier coefficients of modular forms as an infinite sum of Bessel functions, also known as Rademacher formula. The generalization to vector-valued modular forms is known as generalized Kloosterman sums. In the paper arxiv:1404.0033, a remarkable connection between these arithmetic sums and quantum black hole entropy was found. Nevertheless, the computation was particular for one-eighth BPS black holes in $\mathcal{N}=8$ string theory, which have a simple counting formula. Here, we review this construction and extend it to the case of one-quarter BPS black holes in $\mathcal{N}=4$ string theory, which are counted by (mock) Jacobi forms of arbitrary index. The main result is an holographic derivation of the Kloosterman sums which includes the intricate sum over phases and depends exactly on the spectral flow sectors and the spectrum of polar states. On the microscopic side we derive an analytic formula for the Kloosterman sums valid for any index, whereas from the macroscopic side we reproduce the same formula from the M-theory path integral on $\mathbb{Z}_c$ orbifolds of $AdS_2 imes S^1$. A key aspect of the derivation is the identification of the spectral flow sectors with the contribution of M2 branes wrapping cycles on the compactification manifold. After a careful treatment of the measure, the sum over orbifolds results in the sum over Bessels, in perfect agreement with the Rademacher expansion at any order in perturbation theory.

研究动机与目标

• 将广义Kloosterman和的全息推导从$χ=4$弦理论中的一般化Kloosterman和扩展到四分之一BPS黑洞。
• 利用$χ_c$轨道空间的$AdS_2 \times S^1$上的M-theory路径积分，推导出任意指标的模雅可比形式的广义Kloosterman和。
• 在紧化流形上识别出M2-brane环绕非平凡循环的谱流扇区。
• 从宏观路径积分中重现所有微扰阶的Rademacher展开式，与微观解析公式一致。

提出的方法

• 使用超引力中的局部化技术，计算$χ=4$弦理论中四分之一BPS黑洞的量子熵。
• 在$χ_c$轨道空间的$AdS_2 \times S^1$上评估M-theory路径积分，其中轨道化对应于平坦连接的拓扑贡献。
• 将边界CFT中的谱流扇区与紧化流形上非平凡循环环绕的M2-brane对应起来。
• 应用Chern-Simons理论计算平坦连接的贡献，从而导出广义Kloosterman和中的指数相位。
• 使用高斯互反公式简化模参数的求和，并验证所得求和的模形式协变性。
• 从体积分部计算中推导出完整的广义Kloosterman和结构，包括矩阵$M(\gamma)_{\mu\nu}$，并与微观公式匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从$χ=4$弦理论中$AdS_2 \times S^1$轨道空间的M-theory体积分部计算，推导出任意指标的模雅可比形式的广义Kloosterman和？
• RQ2 谱流扇区在$AdS_2 \times S^1$轨道空间的M-theory路径积分中扮演何种角色？
• RQ3 在紧化流形上环绕循环的M2-brane如何对黑洞熵的非微扰修正产生贡献？
• RQ4 能否从$χ_c$轨道空间的M-theory路径积分中重现四分之一BPS黑洞的Rademacher展开式？
• RQ5 体积分部中的轨道空间求和如何再现Rademacher展开式中贝塞尔函数的求和？

主要发现

• 任意指标的模雅可比形式的广义Kloosterman和，通过$AdS_2 \times S^1$的$χ_c$轨道空间的M-theory路径积分被全息地再现。
• 边界CFT中的谱流扇区被识别为在紧化流形上环绕非平凡循环的M2-brane。
• 体积分部中的轨道空间求和导致对贝塞尔函数的求和，与所有微扰阶的Rademacher展开式一致。
• 轨道空间上Chern-Simons作用量的测度与相位结构，重现了完整的广义Kloosterman和，包括矩阵$M(\gamma)_{\mu\nu}$和对极点态的依赖。
• 推导结果表明，广义Kloosterman和结构源于（模）雅可比形式的模变换性质，与形式的具体细节无关。
• 最终结果与Kloosterman和的微观解析公式完全匹配，验证了$χ=4$弦理论中四分之一BPS黑洞的全息计算。