[论文解读] Generalized Kramers-Wanier Duality from Bilinear Phase Map

Yan Han, Linhao Li|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2024

Advanced Mathematical Identities被引用 7

一句话总结

本论文提出双线性相位映射（BPM）来推广 Kramers-Wannier 对偶性，分析单位性损失与不可逆融合规则，并在 (1+1)D 构建新的 BPMs，将 SPT 与 SSB 相通过对偶网络联系起来。

ABSTRACT

We present the Bilinear Phase Map (BPM), a concept that extends the Kramers-Wannier (KW) transformation to investigate unconventional gapped phases, their dualities, and phase transitions. Defined by a matrix of $\mathbb{Z}_2$ elements, the BPM not only encapsulates the essence of KW duality but also enables exploration of a broader spectrum of generalized quantum phases and dualities. By analyzing the BPM's linear algebraic properties, we elucidate the loss of unitarity in duality transformations and derive general non-invertible fusion rules. Applying this framework to (1+1)D systems yields the discovery of new dualities, shedding light on the interplay between various Symmetry Protected Topological (SPT) and Spontaneous Symmetry Breaking (SSB) phases. Additionally, we construct a duality web that interconnects these phases and their transitions, offering valuable insights into relations between different quantum phases.

研究动机与目标

• 激发超越传统 KW 变换的不同带隙量子相及其对偶性的研究。
• 将 BPM 作为一个 Z2 值矩阵框架引入，它捕捉 KW 对偶性并推广至更广泛的相及对偶性。
• 展示 BPM 如何通过线性代数阐明单位性损失、核结构以及不可逆融合规则。
• 在 (1+1)D 展示具体的 BPMs（N_3-KW 和 N_4-KW），分析它们的对称性，并揭示 SPT 与 SSB 相之间的对偶性。
• 构建连接带隙相及相关相变的对偶网络，包括广义 Kennedy-Tasaki 对偶。

提出的方法

• 将 BPM 定义为一个 Z2 值的 L×L 矩阵 A，它通过 N_BPM |{s}> = 2^{-L/2} ∑_{hat{s}} (-1)^{∑_{jk} s_j A_{jk} hat{s}_k} |hat{s}> 生成对偶映射。
• 利用 A 的线性代数性质（秩、核）来确定单位性、对称性分区，以及哪些态映射到参数磁态。
• 引入边界扭曲 t 以在核上恢复单位性并区分扭曲扇区；展示奇/偶边界扭曲如何影响对偶映射。
• 从 N_BPM^ dagger N_BPM 推导一般的不可逆融合规则，并将其与 A^T 的核相关联。
• 将 BPM 应用于显式的 (1+1)D 模型，推导出适用于 3-KW 与 4-KW 型对偶的 A，并分析得到的对称性结构（SSB、SPT）。
• 探索与平移的融合以及与广义 Kennedy-Tasaki 对偶性的相互作用，以连接 SPT 与 SSB 相。

Figure 1: Three gapped phases with $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ symmetry and the dualities between them.

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用双线性相位映射（BPM）将 KW 对偶推广到超出两位相互作用的情形？
• RQ2 基于 BPM 的对偶中的单位性与融合规则含义是什么，以及核/边界扭曲结构如何解决它们？
• RQ3 在 (1+1)D 中应用 BPM（如 N_3-KW 与 N_4-KW）时会产生哪些新的对偶？
• RQ4 BPM 是否能够通过对偶将 SPT 与 SSB 相连接，并产生具有一致异常结构的相变网络？
• RQ5 在 BPM 框架中如何出现广义KT对偶性并使 SPT 与 SSB 区域相关联？

主要发现

• 将 BPM 作为体系化框架引入，通过 Z2 矩阵 A 将 KW 对偶推广。
• 表明 A^T 的核如何支配单位性损失以及对偶中态的配对。
• 展示两个新的 (1+1)D BPM，N_3-KW 和 N_4-KW，分别与三位点和四位点类似伊辛链相关。
• 确立自对偶 BPM 可以是无异常的或带异常的，从而允许或禁止某些带隙相。
• 构建一个连接 SPT、SSB 和和平凡带隙相的对偶网络，并将对偶与中心电荷 c=1 的跃迁联系起来。
• 提出在 BPM 框架内连接 SPT 与 SSB 的广义 Kennedy-Tasaki 对偶性。

Figure 2: Three phase transitions between two different gapped phases with $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ symmetry and $c=1$ and the dualities between them.