[论文解读] Generalized Krein formula and determinants for Poincare-Einstein manifolds

Colin Guillarmou|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文为偶数维渐近双曲流形引入了一般的Krein谱函数ξ，通过Kontsevich-Vishik 2-迹将其与散射算子联系起来。它将散射算子的行列式定义为λ的共形不变量亚纯函数，将ξ与det S(λ)的相位关联，并用Selberg zeta函数表达凸共 compact 双曲流形上共形Laplacian Pk的行列式。

ABSTRACT

Abstract. We define for a class of even dimensional asymptotically hyperbolic manifold (X, g) a natural generalized Krein spectral function ξ (on R) with derivative the renormalized trace of the spectral measure of the Laplacian. It is related to the scattering operator S(λ) of ∆g by −2πi∂zξ(z) = TR(∂zS ( n 2 + iz)S−1 ( n − iz)) where TR is the Kontsevich-Vishik 2 trace. For even Poincaré-Einstein metrics, we define the determinant of S(λ) using methods of Kontsevich-Vishik and show that it is a conformal invariant of the conformal boundary (M,[h0]) depending meromorphically on λ, with divisors given by the resonances multiplicity and the dimensions of kernels of the conformal Laplacians (Pk)k∈N of [h0]. We finally prove that ξ is the phase of det S(λ) on the essential spectrum, we compute the determinant of Pk with respect to ξ and, as an application, det Pk is expressed explicitly in term of the Selberg zeta function for convex co-compact hyperbolic manifolds. 1.

研究动机与目标

• 为偶数维渐近双曲流形定义广义Krein谱函数ξ。
• 通过Kontsevich-Vishik 2-迹，将ξ与Laplacian谱测度的重整化迹联系起来。
• 利用Kontsevich-Vishik方法，为Poincaré-Einstein度量构造散射算子S(λ)的行列式。
• 证明det S(λ)是边界(M, [h0])的亚纯共形不变量，其极点与零点分别对应于共振态与核维数。
• 确立ξ为本质谱上det S(λ)的相位，并用Selberg zeta函数表达det Pk。

提出的方法

• 通过Laplacian ∆g谱测度的重整化迹，在R上定义广义Krein函数ξ(z)。
• 利用Kontsevich-Vishik 2-迹TR，推导关系式−2πi∂zξ(z) = TR(∂zS(n/2 + iz)S⁻¹(n/2 − iz))。
• 应用Kontsevich-Vishik理论，为Poincaré-Einstein度量定义散射算子S(λ)的行列式。
• 证明det S(λ)是λ的亚纯函数，且在边界度量的共形变换下保持不变。
• 证明det S(λ)的除子对应于共振态的重数以及共形Laplacian (Pk)k∈N核的维数。
• 确立ξ(z)等于本质谱上det S(λ)的相位，并用Selberg zeta函数计算det Pk。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为偶数维渐近双曲流形定义广义Krein谱函数ξ？
• RQ2 ξ与散射算子S(λ)之间通过Kontsevich-Vishik 2-迹的精确关系是什么？
• RQ3 det S(λ)作为边界(M, [h0])上的共形不变量，其行为如何？
• RQ4 ξ在本质谱上作为det S(λ)相位的角色是什么？
• RQ5 能否用Selberg zeta函数显式表达共形Laplacian Pk的行列式？

主要发现

• 广义Krein函数ξ在偶数维渐近双曲流形上被定义，并满足关系式−2πi∂zξ(z) = TR(∂zS(n/2 + iz)S⁻¹(n/2 − iz))。
• 散射算子S(λ)的行列式是边界(M, [h0])的亚纯共形不变量，其极点位于共振态处，零点位于Pk核维数处。
• ξ(z)被识别为本质谱上det S(λ)的相位，将谱数据与散射理论联系起来。
• 每个共形Laplacian Pk的行列式在凸共 compact 双曲流形上被显式用Selberg zeta函数表达。
• 该构造通过边界上几何算子的行列式，实现了Selberg zeta函数的谱论实现。
• 该方法在几何分析中建立了散射理论、谱不变量与算术zeta函数之间的深刻联系。