[论文解读] Generalized L$_p$-norm joint inversion of gravity and magnetic data using cross-gradient constraint

Saeed Vatankhah, Shuang Liu+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2020

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于交叉梯度约束的统一Lp-范数联合反演框架，用于重力与磁法数据，以增强密度与磁化率模型之间的结构相似性。通过引入L0、L1和L2稳定器，并采用带有自适应正则化的迭代共轭梯度优化方法，该方法生成了改进的、物理上合理的地下结构重建结果——尤其相较于单独反演方法表现更优，且在包含平滑与块状特征的三维合成模型上验证了其有效性。

ABSTRACT

A generalized unifying approach for $L_{p}$-norm joint inversion of gravity and magnetic data using the cross-gradient constraint is presented. The presented framework incorporates stabilizers that use $L_{0}$, $L_{1}$, and $L_{2}$-norms of the model parameters, and/or the gradient of the model parameters. Furthermore, the formulation is developed from standard approaches for independent inversion of single data sets, and, thus, also facilitates the inclusion of necessary model and data weighting matrices that provide, for example, depth weighting and imposition of hard constraint data. The developed efficient algorithm can, therefore, be employed to provide physically-relevant smooth, sparse, or blocky target(s) which are relevant to the geophysical community. Here, the nonlinear objective function, that describes the inclusion of all stabilizing terms and the fit to data measurements, is minimized iteratively by imposing stationarity on the linear equation that results from applying linearization of the objective function about a starting model. To numerically solve the resulting linear system, at each iteration, the conjugate gradient algorithm is used. The general framework is then validated for three-dimensional synthetic models for both sparse and smooth reconstructions, and the results are compared with those of individual gravity and magnetic inversions. It is demonstrated that the presented joint inversion algorithm is practical and significantly improves reconstructed models obtained by independent inversion.

研究动机与目标

• 开发一种广义的、统一的重力与磁法数据联合反演框架，将多种稳定器（L0、L1、L2）整合于单一优化方案中。
• 引入交叉梯度约束，以在无需岩性物理关系的前提下，强制实现密度与磁化率模型之间的结构相似性。
• 通过选择Lp-范数参数和正则化权重，灵活控制模型特征（平滑、稀疏或块状）。
• 通过整合深度加权、硬约束和边界约束，提升反演的稳定性和准确性。
• 在三维合成模型上验证该方法，并展示其在重建性能上优于单独重力与磁法反演的结果。

提出的方法

• 该框架将非线性目标函数表述为包含数据拟合误差、针对模型参数或其梯度的一般Lp-范数稳定器，以及用于对齐模型间结构特征的交叉梯度约束的组合。
• 通过在初始模型附近线性化目标函数，并在每一步迭代中使用共轭梯度（CG）算法求解所得线性系统，实现目标函数的迭代最小化。
• 正则化参数在迭代过程中自适应调整，初始值较大并随时间递减，同时对交叉梯度项应用平衡权重。
• 引入深度加权和硬约束矩阵，以提升深层结构的分辨率并包含已知模型值，同时在每一步迭代中施加边界约束。
• 通过选择Lp-范数中的p值，该方法支持多种稳定器（L0、L1、L2），从而可控制最终模型的平滑度、稀疏性或块状特征。
• 该算法在具有已知密度与磁化率分布的三维合成模型上进行了验证，并将联合反演结果与独立反演结果进行了对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 统一的Lp-范数框架能否有效将多种稳定器（L0、L1、L2）整合于重力与磁法数据的单一联合反演中？
• RQ2 引入交叉梯度约束后，如何提升联合反演密度与磁化率模型之间的结构一致性与准确性？
• RQ3 该方法在多大程度上能够重建平滑与块状的地下结构？其性能与单独反演结果相比如何？
• RQ4 自适应正则化参数调整与深度加权对反演收敛性与模型保真度有何影响？
• RQ5 当仅部分数据支持某些特征（如倾斜岩墙或垂直岩墙）时，该方法是否仍能可靠地重建地下结构？

主要发现

• 带有交叉梯度约束的联合反演成功重建了合成模型中的倾斜与垂直岩墙，密度与磁化率模型中的结构特征与真实模型高度一致。
• 在L1-范数稳定器情况下，重建模型在密度与磁化率分布之间表现出高度的结构相似性，且算法正确地排除了未受支持的结构（例如，垂直岩墙无磁化率响应）。
• L1-范数情况下算法在58次迭代内收敛，而L2-范数梯度情况下达到最大100次迭代，表明在不同稳定器下均表现出稳健的收敛性。
• 与单独重力与磁法反演相比，联合反演生成的重建模型在准确性与结构一致性方面显著提升，尤其在解析复杂三维几何形态方面表现更优。
• 自适应正则化策略——即从较大的正则化参数开始并随迭代递减——被证明能有效稳定收敛过程并提升模型质量。
• 该方法成功整合了深度加权与硬约束，从而实现了对深层结构的更好分辨率，并将已知值有效纳入模型中。