[论文解读] Generalized Lagrangian mean curvature flows in symplectic manifolds

Knut Smoczyk, Mu‐Tao Wang|ArXiv.org|Oct 14, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过在几乎凯勒流形中使用具有爱因斯坦条件的度量和复联络 $\widehat{\nabla}$，引入了一种广义的拉格朗日平均曲率流。当 $\widehat{\rho} = f\omega$ 时，该流保持拉格朗日条件，将经典流推广到更广泛的辛几何设定，包括余切丛和几乎爱因斯坦凯勒流形。

ABSTRACT

An almost Kähler structure on a symplectic manifold $(N, ω)$ consists of a Riemannian metric $g$ and an almost complex structure $J$ such that the symplectic form $ω$ satisfies $ω(\cdot, \cdot)=g(J(\cdot), \cdot)$. Any symplectic manifold admits an almost Kähler structure and we refer to $(N, ω, g, J)$ as an almost Kähler manifold. In this article, we propose a natural evolution equation to investigate the deformation of Lagrangian submanifolds in almost Kähler manifolds. A metric and complex connection $\hn$ on $TN$ defines a generalized mean curvature vector field along any Lagrangian submanifold $M$ of $N$. We study the evolution of $M$ along this vector field, which turns out to be a Lagrangian deformation, as long as the connection $\hn$ satisfies an Einstein condition. This can be viewed as a generalization of the classical Lagrangian mean curvature flow in Kähler-Einstein manifolds where the connection $\hn$ is the Levi-Civita connection of $g$. Our result applies to the important case of Lagrangian submanifolds in a cotangent bundle equipped with the canonical almost Kähler structure and to other generalization of Lagrangian mean curvature flows, such as the flow considered by Behrndt \cite{b} in Kähler manifolds that are almost Einstein.

研究动机与目标

• 在缺乏凯勒-爱因斯坦结构的广义几乎凯勒流形中，为拉格朗日子流形定义一种广义平均曲率流。
• 通过引入联络 $\widehat{\nabla}$ 的广义平均曲率向量，克服经典平均曲率流在一般辛流形中无法保持拉格朗日条件的缺陷。
• 建立广义流保持拉格朗日条件的条件，将已知结果推广至非凯勒和非爱因斯坦设定。
• 证明该流适用于重要几何例子，如具有典型几乎凯勒结构的余切丛和几乎爱因斯坦凯勒流形。
• 在统一框架下推广并整合现有流，包括经典拉格朗日平均曲率流和 Behrndt 的改进流。

提出的方法

• 使用流形 $TN$ 上的度量和复联络 $\widehat{\nabla}$，在几乎拉格朗日子流形上定义广义平均曲率向量 $\vec{\widehat{H}}$。
• 引入 $\widehat{\nabla}$ 的爱因斯坦条件，要求其里奇形式 $\widehat{\rho}$ 满足 $\widehat{\rho} = f\omega$，其中 $f$ 为光滑函数。
• 将广义平均曲率流构造为演化方程 $\frac{\partial F}{\partial t} = \vec{\widehat{H}}$，初始数据为 $F(M,0) = M_0$。
• 利用 Cartan 公式和曲率恒等式，证明 $\frac{\partial}{\partial t} F^*\omega = \Delta(F^*\omega) + \text{低阶项}$，从而确保拉格朗日条件被保持。
• 应用抛物正则性和短时存在性理论，建立紧致初始拉格朗日子流形的光滑解。
• 利用广义平均曲率 1-形式 $\widehat{H}$ 的闭性及爱因斯坦条件，控制 $F^*\omega$ 的演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几乎凯勒流形上，联络 $\widehat{\nabla}$ 满足何种条件时，广义平均曲率流能保持拉格朗日条件？
• RQ2 经典凯勒-爱因斯坦流形中的拉格朗日平均曲率流是否可作为该广义框架的特例被恢复？
• RQ3 该广义流是否可推广至非凯勒辛流形，如配备典型几乎凯勒结构的余切丛？
• RQ4 $\widehat{\nabla}$ 的挠率如何影响广义平均曲率向量及拉格朗日条件的保持？
• RQ5 该框架能否容纳先前在几乎爱因斯坦凯勒流形中研究的流，例如 Behrndt 的流？

主要发现

• 在几乎凯勒流形中，任意紧致初始几乎拉格朗日子流形的广义平均曲率流均存在光滑解，最大存在时间 $T \in (0, \infty]$。
• 当且仅当联络 $\widehat{\nabla}$ 满足爱因斯坦条件 $\widehat{\rho} = f\omega$ 时，广义流保持拉格朗日条件。
• 在凯勒-爱因斯坦流形中，若取 $\widehat{\nabla}$ 为 Levi-Civita 联络，则恢复经典拉格朗日平均曲率流。
• 在几乎爱因斯坦凯勒流形中，当 $\widehat{\nabla} = \nabla + \sigma \otimes J$ 且 $\sigma = d^c\psi$ 时，广义流包含 Behrndt 的改进流作为特例。
• 在黎曼流形 $M$ 的余切丛 $T^*M$ 上，典型联络 $\widehat{\nabla}$ 满足 $f = 0$，故为爱因斯坦联络，因此流保持拉格朗日子流形。
• 在演化中，$F^*\omega$ 满足抛物不等式 $\frac{\partial}{\partial t}|F^*\omega|^2 \leq \Delta|F^*\omega|^2 + c|F^*\omega|^2$，若初始子流形 $M_0$ 为拉格朗日，则对所有时间均有 $F^*\omega \equiv 0$。