[论文解读] Generalized local Taylor's formula with local fractional derivative

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Fractional Differential Equations Solutions被引用 3

一句话总结

本文在局部分数阶微积分（LFC）框架下，利用局部分数阶导数（LFDs）提出了一种广义的局部泰勒公式，实现了对分形函数和不可微函数的逼近与级数表示。其主要贡献在于推导出适用于梅特格勒-莱夫勒型函数的局部分数阶泰勒级数，将经典泰勒展开推广至分形域。

ABSTRACT

In the present paper, a generalized local Taylor formula with the local fractional derivatives (LFDs) is proposed based on the local fractional calculus (LFC). From the fractal geometry point of view, the theory of local fractional integrals and derivatives has been dealt with fractal and continuously non-differentiable functions, and has been successfully applied in engineering problems. It points out the proof of the generalized local fractional Taylor formula, and is devoted to the applications of the generalized local fractional Taylor formula to the generalized local fractional series and the approximation of functions. Finally, it is shown that local fractional Taylor series of the Mittag-Leffler type function is discussed.

研究动机与目标

• 基于局部分数阶微积分，为定义在分形集上的函数开发一种广义的局部泰勒公式。
• 解决经典泰勒展开在处理连续不可微和分形函数时的局限性。
• 通过广义的局部分数阶级数实现对这类函数的表示。
• 通过分析梅特格勒-莱夫勒型函数，展示该公式的适用性。

提出的方法

• 本文采用局部分数阶微积分（LFC）来定义适用于分形和不可微函数的局部分数阶导数（LFDs）。
• 利用高阶LFDs构建广义的局部泰勒展开，以捕捉分形集上的局部行为。
• 该方法依赖于局部分数阶积分与导数的理论，以确保在分形域中的收敛性。
• 推导过程基于分形几何，确保与连续但不可微函数的结构保持一致。
• 该方法通过用局部分数阶导数替代标准导数，将经典泰勒级数进行扩展。
• 将该公式应用于推导梅特格勒-莱夫勒函数的局部分数阶泰勒级数，该函数是分数阶微积分中的关键函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为在经典意义上不可微但定义在分形集上的函数构建广义的泰勒展开？
• RQ2 局部分数阶泰勒级数在特殊函数（如梅特格勒-莱夫勒函数）中的结构与收敛行为如何？
• RQ3 局部分数阶导数如何实现对标准导数失效时的分形函数的精确逼近？
• RQ4 广义局部分数阶泰勒公式的存在与有效性所需满足的条件是什么？
• RQ5 该广义公式能否系统性地应用于表示和逼近其他类别的分形函数？

主要发现

• 成功推导出基于局部分数阶导数的广义局部泰勒公式，将经典泰勒展开推广至分形域。
• 该公式使得通过广义局部分数阶级数表示分形和不可微函数成为可能。
• 梅特格勒-莱夫勒型函数可展开为局部分数阶泰勒级数，证明了该公式在分数阶微积分中特殊函数上的适用性。
• 该方法为在标准微积分失效的具有分形几何的集合上提供了函数逼近的一致性框架。
• 结果证实了局部分数阶泰勒展开在建模复杂非光滑现象方面的理论有效性与实际实用性。